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人教版高中数学复习学(教)案(第15讲)等差数列.doc

上传人:高**** 文档编号:229511 上传时间:2024-05-26 格式:DOC 页数:11 大小:1.09MB
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资源描述

1、题目 第三章数列等差数列高考要求 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题知识点归纳 1等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示2等差数列的判定方法:定义法:对于数列,若(常数),则数列是等差数列 等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列3等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是,公差是,则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和: 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数5等差中项:如果,成等差数列,那么叫

2、做与的等差中项即:或在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项,是等差数列的第项,且,公差为,则有 对于等差数列,若,则也就是:若数列是等差数列,是其前n项的和,那么,成等差数列如下图所示:6奇数项和与偶数项和的关系:设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和,则有如下性质:前n项的和当n为偶数时,其中d为公差;当n为奇数时,则,(其中是等差数列的中间一项)7前n项和与通项的关系:若等差数列的前项的和为,等

3、差数列的前项的和为,则题型讲解 例1 如果一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差; 分析:等差数列的奇数项成等差数列,偶数项也成等差数列,等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量,只要知道其中三个,就可以求其它两个,而是基本量解:设等差数列首项为,公差为d,则例2 设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S120,S130()求公差d的取值范围;()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由解: ()依题意,有 ,即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ,()由d0可知 a1a2a3a

4、12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70,即 a6+a70, a70由此得 a6a70因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大例3 已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数 解:设三个数为a,公差为d,则这5个数依次为a-2d,a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意:(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5即 a2+2d

5、2 = 且 a=1 a=1且d=当d=时,这5个数分别是、1、;当d=时,这5个数分别是、1、例4等差数列an的前n项和Sn且S5=-5,S10=15,求数列的前n项和Tn 解:设数列an的公差为d,首项为a1,由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15解得a1=-3 ,d=1Sn = n(-3)+ 是等差数列且首项为3、公差为Tn = n(-3)+例5 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数解:设数列共2m+1(mN*)把该数列记为an依题意a1+a3+a2m+1=44 且a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)

6、=33(1) (a1+a2m)=44 (2) (1)(2)得m = 3代入(1)得a2+a2m = 22 am+1=11 即该数列有7项,中间项为11例6 在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列求点的坐标;设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与抛物线相切于的直线的斜率为,求:设,等差数列的任一项,其中是中的最大数,求的通项公式解:(1)(2)的对称轴垂直于轴,且顶点为设的方程为:把代入上式,得,的方程为:,=(3),T中最大数设公差为,则,由此得说明:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大(1)、(

7、2)两问运用几何知识算出,解决(3)的关键在于算出及求数列的公差例7已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn ,n为正偶数,且a1 ,a2 ,a3, ,an组成等差数列,又f(1)=n2 ,f(-1)=n ,试比较f( )与3的大小解:f(1)=n2 ,f(-1)=n ,f(1)=a1 +a2+an=n2 , f(-1)=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n依题设有,d=nd=2, a1=1于是f(x)=x+3x2+5x3+7x4+(2n-1)xnf()=+3()2+5()3+7()4+(2n-1)()n两边同乘:f()=+3()3+5()4+7()5+(2n-1)(

8、)n+1-得 f()=2()22()3+2()n-(2n-1)()n+1即f()=+()2+()n-1-(2n-1)()n+1f()=1+1+-(2n-1)()n=1+-(2n-1) = 1+2-(2n-1)3f()3小结:等差数列的定义、基本运算及通项公式、前n项和公式的应用,不仅要熟练应用基本公式,还要会用变通公式,如在等差数列中,an=am+(n-m)d 由五个量a1 ,d , n ,an ,Sn中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,即善于减少运算量,达到快速、准确的目的已知多个数成等差数列,要善于设元,目的仍在于减少运算量,如三个数成等差数列时,除了设a ,a+d ,a+2d

9、外,还可设a-d ,a ,a+d ;四个数成等差数列时,可设为a-3d ,a-d ,a+d ,a+3d在求解数列问题时,除注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的利用外,还要特别注意解题中要有“目标意识”,“需要什么,就求什么”学生练习 1数列an是首项为2,公差为3的等差数列,数列bn是首项为-2,公差为4的等差数列若an=bn,则n的值为( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)72在等差数列an中,am=n,an=m,则am+n的值为( )(A)m+n (B) (C) (D)03在等差数列an中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )(A)30

10、(B)27 (C)24 (D)214一个直角三角形的三条边成等差数列,则它的最短边与最长边的比为( )(A)45 (B)513 (C)35 (D)12135在等差数列an中,Sm=Sn,则Sm+n的值为( )(A)0 (B)Sm+Sn (C)2(Sm+Sn) (D)6数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的( )(A)充分但不必要 (B)必要但不充分(C)充要条件 (D)既不充分又不必要7一个凸n边形内角的度数成等差数列,公差为5,且最大角为160,则n的值为( )(A)9 (B)12 (C)16 (D)9或168在等差数列an中,Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为( )(A)p

11、+q (B)-(p+q) (C)p2-q2 (D)p2+q29已知等差数列an满足a1+a2+a99=0,则( )(A)a1+a990 (B)a2+a980 (C)a3+a97=0 (D)a50=5010若数列an为等差数列,公差为,且S100=145,则a2+a4+a100的值为( )(A)60 (B)85 (C) (D)其它值11已知数列an的通项公式为an=(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为( )(A)200 (B)-200 (C)400 (D)-40012若数列an由a1=2,an+1=an+2n(n)确定,则a100的值为( )(A)9900 (B)9902 (C)9

12、904 (D)990613已知等差数列an的公差为d,d0,a1d,若这个数列的前20项的和为S20=10M,则M等于( )(A)a4+a16 (B)a20+d (C)2a10+d (D)a2+2a1014若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列,则a+b的值为( )(A) (B) (C) (D)15数列an中,a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1,则a2n= 16在等差数列an中,已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 17在等差数列an中,S4=6,S8=20,则S16= 18在等差数列an中,S3=S8,S2=Sn,则n

13、= 19某露天剧场共有28排座位,第一排有24个,后一排比前一排增加两个座位,则全剧场共有座位 个20成等差数列的四个数之和为26,第一个数与第四个数积为22,则这四个数为 21打一口深20米的井,打到第一米深处时需要40分钟,从第一米深处打到第二米深处需要50分钟,以后每深一米都要比前一米多10分钟,则打到最后一米深处要用 小时,打完这口井总共用 小时22在项数为n的等差数列an中,前三项之和为12,最后三项之和为132,前n项之和为240,则n= 23已知数列an为等差数列,前30项的和为50,前50项的和为30,求前80项的和24已知数列an的前n项和为Sn=n2+C(C为常数),求数列

14、a0的通项公式,并判断an是不是等差数列25设等差数列an的前n项和为Sn,bn=,且a3b3=,S5+S3=21,求bn26已知数列an为首项a10,公差为d0的等差数列,求Sn=27求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和28用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1150,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱?29已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列an,求

15、证:an为等差数列(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成bn,求bn的前n项和参考答案:题号12345678答案BDBCADAB题号91011121314答案CBBBCD15p+(2n-1)(q-p) 1614 1772 189 191428 202,5,8,11或11,8,5,2 212210a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3(a1+an)=144,a1+an=48,求得Sn=240,n=1023S50-S30=a31+a32+a50=30-50=-20a1+a80=-2 S80=24当n=1时,a1=S1=1+c当n时,an=Sn-Sn-1=(n2+c

16、)-(n2+c)-(n-1)2+C=2n-1an= 若C=0,an=2n-1,此时an-an-1=2(n)an为等差数列若C0,C+11,an不为等差数列25 由,得a1=d由,得8a1+13d=1故a1=d=1Sn=26Sn=27设S表示从1到100的所有整数之和S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和S3表示从1到100中所有既能被3整除,又能被5整除的整数的和则S=由99=3+(n-1)3,得n=33 由100=5+(n-1) 5,得n=20 S3表示15,30,45,90之和 S3=从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1

17、-S2+S3=263228购买时付了150元,欠款1000元每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列an,则a1=50+1000001=60a2=50+(1000-50) 001=60-05a3=50+(1000-502) 001=60-052类推,得a10=60-059=555an=60-05(n-1)(1n20)付款数an组成等差数列,公差d=-05,全部贷款付清后,付款总数为S20+150=(元)29(1)f(x)=x-(n+1)2+3n-8 an=3n-8, an+1-an=3 , an为等差数列(2)b0=当1时,bn=8-3n,b1=5Sn=当n3时bn=3n-8 Sn=5+2+1+4+(3n-8)=7+Sn= 课前后备注

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