1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题 理（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列，3，则是这个数列的第（ ）A. 8项B. 7项C. 6项D. 5项【答案】C【解析】【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于的方程，解方程得到答案【详解】解：数列，3，可化为：数列，则数列的通项公式为：，当时，则，解得：，故是这个数列的第6项.故选：C【点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键2.式子
2、的值为（ ）A. B. 0C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可【详解】解：根据题意，故选：D【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，特殊角的三角函数求值，考查计算能力3.等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质，若，则，将已知条件代入运算即可.【详解】解：因为等比数列中，由等比数列的性质可得，所以，故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题.4.设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的等和性与前
3、项和的公式求解即可.【详解】由得,即故.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与前项和的公式,属于基础题.5.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则，通过三角函数诱导公式及二倍角公式进行化简求值即可.【详解】设，则，故.故选：B【点睛】本题考查三角恒等变换，属于基础题.6.某船在处测得灯塔在其南偏东方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到处，测得灯塔在其北偏东方向上，然后该船向东偏南方向行驶2海里到处，此时船到灯塔的距离为多少海里（ ）A. 千米B. 千米C. 6千米D. 5千米【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可画出图形，在处测得灯塔在其南偏东方向,即
4、，在处测得灯塔在其北偏东方向上，即，可得，船向东偏南方向行驶2海里到处即且，再由余弦定理即可得的距离.详解】根据题意可画图形（如图）因为在处测得灯塔在其南偏东方向,即，船继续向正南方向行驶5海里到处即，在处测得灯塔在其北偏东方向上，即，所以一个等边三角形，即，船向东偏南方向行驶2海里到处，根据图形可得：且，在中，由余弦定理可得：解得：故选：A【点睛】本题考查了余弦定理的实际应用问题，可根据题意画出图形，利用余弦定理求解三角形，属于较易题.7.函数的最小值为（ ）A. B. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式化简得函数，且，再利用二次函数的性质求得的最小值，从而求得结
5、果【详解】解：函数，而，则，故当时，函数取得最小值为-2，函数的最小值为-2.故选：A【点睛】本题考查正弦函数的定义域和值域，以及二倍角的余弦公式的应用，还利用二次函数的性质求函数最值8.已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的正弦，余弦公式进行化简，再把求值.【详解】因为终边与单位圆的交点，且是第二象限角，所以，则故选：C【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.9.在ABC中，角的对边分别是，若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】在中，由正弦定理可得，又，由可得，可
6、得，故选B.10.数列的前项和为，若，则（ ）A. 20B. 15C. 10D. -5【答案】A【解析】试题分析：当时，适合上式，所以，所以因为，所以，选A考点：等差数列的性质11.在中，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.12.在中，已知，给出以下四个论断其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得进而求得进而求得等式不一定成立，排除；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得正确；不一定等于1，排除；利用同角三角函数的基本关系
7、可知，进而根据可知，进而可知二者相等，得正确【详解】解：，则：，即：，整理求得，不一定成立，不正确；，由于，则：，所以正确；，所以，所以正确；而不一定成立，故不正确；综上知正确.故选：A【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和公式、正弦函数的性质、三角形的内角关系等知识的应用，考查了学生综合分析问题和推理运算能力二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知中，那么_【答案】45【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解【详解】解：由正弦定理可得：，即，又因为，即，则，所以.故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题14.
8、等差数列的前项和为，若，则_【答案】18【解析】【分析】根据题意，由成等差数列，列方程组，解方程即可得出的值.【详解】解：由题可知，为等差数列的前项和，由等差数列的性质可知，成等差数列，即：，因为，则：，解得：.故答案为：18.【点睛】本题考查等差数列前项和的性质和等差中项的应用，考查计算能力.15.若，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，将两个式子同时两边平方得，再两式相加，结合同角三角函数的平方关系和两角和与差的正弦公式，即可求出结果.详解】解：由题知，则即：则+得：，解得：，则.即：.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数求值，涉及了同角三角函数的平方关系以及两角和与差的正弦公式的应用.
9、16.在中，已知向量，且，记角的对边依次为.若，且是锐角三角形，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由向量，且可得的值，即可求出的大小，再，且是锐角三角形，由正弦定理可以将转化为一个只含的三角函数，根据正弦函数的性质即可求出的取值范围.【详解】由题意得：向量，且，则，即，因为，所以即，因为，由正弦定理得：，即，则，因为是锐角三角形，即且，所以，即有，所以有，所以故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理把边转化成角，再利用三角函数的二倍角公式，两角和差公式进行化简求三角函数的范围，考查了学生的计算能力，属于一般题.三解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
10、)17.计算：（1）；（2）【答案】（1）； （2）0.【解析】【分析】（1）根据，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.（2）根据两角和与差的正切公式求得，进而代入化简即可得出答案.【详解】解：（1）由；（2）由，可得，所以，故原式.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.18.如图，在中，已知，是边上的一点，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求（2）在中由正弦定理可得的长详解：（1）在中，由余弦定理得，为三角形的内角， ，
11、（2）在中，由正弦定理得：点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用19.已知数列an满足a1=1，an+1=，设bn=，nN*（1）证明bn是等比数列（指出首项和公比）；（2）求数列log2bn的前n项和Tn【答案】（1）见解析；（2）Tn=.【解析】【详解】试题分析：（1）由an+1=，得=2，再利用等比数列的定义即可得出（2）由（1）求出通项得log2bn=log2 2n-1=n-1，利用等差数列求和即可.试题解析：（1）由an+1=，得=2所以bn+1=2bn，即又因为
12、b1=，所以数列bn是以1为首项，公比为2的等比数列（2）由（1）可知bn=12n-1=2n-1，所以log2bn=log2 2n-1=n-1则数列log2bn的前n项和Tn=1+2+3+（n-1）=点睛：证明等比数列的一把方法有两个：(1).定义法，即;(2).等比中项法：.20.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中，内角的对边分别为，已知，成等差数列，且，求边的值.【答案】（1）单调增区间为.（2）【解析】【分析】(1)根据已知条件利用二倍角公式和两角差的余弦公式进行化简，以整体代入求出递增区间；(2)由(1)化简的结论把代入，由可求出的值，再根据成等差数列，且可求出，利用余弦定理
13、即可求出边的值.【详解】（1），令.则.又的单调增区间为（2）由，得，.，因为成等差数列得，由余弦定理得，.【点睛】本题考查了二倍角和两角差的余弦进行化简，利用余弦定理解三角形，考查了学生的计算能力，属于一般题.21.已知分别是角的对边，满足（1）求的值；（2）的外接圆为圆(在内部)，判断的形状，并说明理由.【答案】（1）；（2）等边三角形.【解析】试题分析：（I）根据正弦定理把化成边的关系可得，约去，即可求得；（II）设中点为，故,圆的半径为,由正弦定理可知,所以,再根据余弦定理求得，据此判断出三角形性质.试题解析：（I）由正弦定理可知, 则,可得.（II）记中点为，故,圆的半径为,由正弦公
14、式可知,故,由余弦定理可知, 由上可得,又,则,故为等边三角形.考点：正弦定理、余弦定理解三角形.22.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形草坪如下图所示，已知：米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路、和，要求点是的中点，点在边上，点在边时上，且.（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.【答案】（1），定义域为；（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元【解析】【分析】（1）利用勾股定理通过，得出，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求的周长最小，求出的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值.【详解】（1）由题意，在中，中，又，所以，即.当点在点时，这时角最小，求得此时；当点在点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求的周长的最小值即可由（1）得，设，则，由，得，则，从而，当，即当时，答：当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
