1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极
2、大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义.本章重点：1.导数的概念；2.利用导数求切线的斜率；3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；4.利用导数求极值或最值；5.利用导数求实际问题最优解.本章难点：导数的综合应用.导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有
3、效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.知识网络 3.1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】 已知函数f(x)2ln 3x8x，求的值.【解析】由导数的定义知：22f(1)20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当x0时， 平均变化率的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关
4、系可以近似地表示为f(t)，则在时刻t10 min的降雨强度为()A. mm/minB. mm/minC. mm/minD.1 mm/min【解析】选A.题型二求导函数【例2】 求下列函数的导数.(1)yln(x)；(2)y(x22x3)e2x；(3)y.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y(x)(1).(2)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x2(x2x2)e2x.(3)y(x (1x) 【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0) ； (用数字作答).【解析】f(0)4，f(f(0)
5、f(4)2，由导数定义f(1).当0x2时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2.题型三利用导数求切线的斜率【例3】 已知曲线C：yx33x22x， 直线l：ykx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.【解析】由l过原点，知k (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0x3x2x0，所以 x3x02.而y3x26x2，k3x6x02.又 k， 所以3x6x02x3x02，其中x00， 解得x0.所以y0，所以k，所以直线l的方程为yx，切点坐标为(，).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐
6、标. 【变式训练3】若函数yx33x4的切线经过点(2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y3x23得切线的斜率为k3x3.所以函数yx33x4在P(x0，y0)处的切线方程为yy0(3x3)(xx0).又切线经过点(2,2)，得2y0(3x3)(2x0)，而切点在曲线上，得y0x3x04， 由解得x01或x02.则切线方程为y2 或 9xy200.总结提高1.函数yf(x)在xx0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求的值；(2)先求导函数f(x)，再将xx0的值代入，即得f(x0)的值.2.求yf(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；
7、(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，就是函数yf(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，).f(x)2xa，若a0，则1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0时，f(x)的增区间为(1，).若a0，则1，故当x(1，时，f(x)0；当x，)时，f(x)0，所以a0时，f(x)的减区间为(1，f(x)的增区间为
8、，).【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)x2ln xax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.【解析】因为f(x)2xa，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2xa0在(0,1)上恒成立，即a2x恒成立.又2x2(当且仅当x时，取等号).所以a2，故a的取值范围为(，2.【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二求函数的极值【例
9、2】已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因为x1是函数f(x)的极值点，所以x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根.由根与系数的关系，得 又f(1)1，所以abc1. 由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以当f(x)x20时，有x1或x1；当f(x)x20时，有1x1.所以函数f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数.所以当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值
10、f(1)1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点xx0处取极值的必要条件是f(x)0.但是， 当x0满足f(x0)0时， f(x)在点xx0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【变式训练2】定义在R上的函数yf(x)，满足f(3x)f(x)，(x)f(x)0，若x1x2，且x1x23，则有()A. f(x1)f(x2)B. f(x1)
11、f(x2)C. f(x1)f(x2)D.不确定【解析】由f(3x)f(x)可得f3(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以函数f(x)的图象关于x对称.又因为(x)f(x)0，所以当x时，函数f(x)单调递减，当x时，函数f(x)单调递增.当时，f(x1)f(x2)，因为x1x23，所以，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】 求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值和最小值.【解析】f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.又由f(x)x0，且x0,2，得知函数f(x)的单调递增区间是(0
12、,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)ln 2为函数f(x)的极大值.又因为f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0为函数f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2为函数f(x)在0,2上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在a，b上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f(x)ax33x1对x1,1总有f(x)0成立，则a.【解析】若x0，则无论a为何值，f
13、(x)0恒成立.当x(0,1时，f(x)0可以化为a，设g(x)，则g(x)，x(0，)时，g(x)0，x(，1时，g(x)0.因此g(x)maxg()4，所以a4.当x1,0)时，f(x)0可以化为a，此时g(x)0，g(x)ming(1)4，所以a4.综上可知，a4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f(x)；(3)根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)判断f(x)在方程根左右的值的符号，确
14、定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的值域；(2)求证：x1时，f(x)x3.【解析】(1)由已知f(x)x，当x1，e时，f(x)0，因此f(x)在 1，e上为增函数.故f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)，因而f(x)在区间1，e上的值域为，1.(2)证明：令F(x)f(x)x3x3x2l
15、n x，则F(x)x2x2，因为x1，所以F(x)0，故F(x)在(1，)上为减函数.又F(1)0，故x1时，F(x)0恒成立，即f(x)x3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】选B.题型二优化问题【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥
16、墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256.(2)由(1)知f(x)mx(x512).令f(x)0，得x512.所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内
17、为增函数.所以f(x)在x64处取得最小值.此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r2h)9.6，所以2rh1.2.S2.4r3r2，h1.22r0，所以r0.6.所以S2.4r3r2(0r0.6).令f(r)2.4r3r2，则f(r)2.46r.令f(r)0得
18、r0.4.所以当0r0.4，f(r)0；当0.4r0.6，f(r)0.所以r0.4时S最大，Smax1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】 设函数f(x)x3mx2(m24)x，xR.(1)当m3时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，且.若对任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)当m3时，f(x)x33x25x，f(x)x26x5.因为f(2)，f(2)3，所以切点坐标为(2，)，切线的斜率为3，则所求的切线方程为y3(x2)，即9x3y200.(2)f(x)x22mx(m24).令f(x)0，得
19、xm2或xm2.当x(，m2)时，f(x)0，f(x)在(，m2)上是增函数；当x(m2，m2)时，f(x)0，f(x)在(m2，m2)上是减函数；当x(m2，)时，f(x)0，f(x)在(m2，)上是增函数.因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，且f(x)xx23mx3(m24)，所以解得m(4，2)(2,2)(2,4).当m(4，2)时，m2m20，所以m2m20.此时f()0，f(1)f(0)0，与题意不合，故舍去.当m(2,2)时，m20m2，所以m20m2.因为对任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)为函数f(x)在，上的最小值.因为当xm2时，函数f(x)在，
20、上取最小值，所以m21，即m1.当m(2,4)时，0m2m2，所以0m2m2.因为对任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)为函数f(x)在，上的最小值.因为当xm2时，函数f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1(舍去).综上可知，m的取值范围是1.【变式训练3】已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围.【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(，)，递减区间为(0，)；当a0时，F(x)的递减区间为(0，).(2)ln 2，).总结提高在应用导
21、数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】 计算下列定积分的值.(1)(x1)5dx；(2) (xsin x)dx.【解析】(1)因为(x1)6(x1)5，所以 (x1)5dx.(2)因为(cos x)xsin x，所以(xsin x)dx1.【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数
22、具有奇偶性时，可用以下结论：若f(x)是偶函数时，则f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函数时，则f(x)dx0.【变式训练1】求(3x34sin x)dx.【解析】(3x34sin x)dx表示直线x5，x5，y0和曲线y3x34sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.又f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x).所以f(x)3x34sin x在5,5上是奇函数，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0.题型二利用定
23、积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y22x与直线y4x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，4)，则S()dx4x()dx18.方法二：S(4y)dy18.【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k是一个正整数，(1)k的展开式中x3的系数为，则函数yx2与ykx3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr1C()r，令r3，得x3的系数为C，解得k4.由得函数yx2与y4x3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影
24、部分的面积为S(4x3x2)dx(2x23x.题型三定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x0运动到xa时阻力所做的功.【解析】(1)当0t1时，v(t)0，当1t2时，v(t)0，所以前2秒内所走过的路程为sv(t)dt(v(t)dt(1t2)dt(t21)dt=2.2秒末所在的位置为x1x0v(t)dt1(1t2)dt.所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1.(2)
25、 物体的速度为v(bt3)3bt2.媒质阻力F阻kv2k(3bt2)29kb2t4，其中k为比例常数，且k0.当x0时，t0；当xa时，tt1()，又dsvdt，故阻力所做的功为W阻ds kv2vdtkv3dt k(3bt2)3dtkb3t k.【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)a(t)dt，s(t)v(t)dt和WF(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(x，y)(1x)y，x，y(0，).令函数f(x)F1，log2(x24x9)的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线
26、段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解析】因为F(x，y)(1x)y，所以f(x)F(1，log2(x24x9)x24x9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x)2x4.所以解得B(3,6)，所以S(x24x92x)dx(3x29x)=9.总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.- 13 - 版权所有高考资源网
