1、第八章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()AB CD答案C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体2在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A. B. C. D.答案D解析棱长为1的正方体的体积为1,8个三棱锥的体积
2、为8，所以剩下的几何体的体积为1.3.已知水平放置的ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC的面积是()A.B2 C. D.答案A解析由斜二测画法的原则可得，BCBC2，AO2AO2，由图易得AOBC，SABC2，故选A.4若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案B解析当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1l2，l2l3l1l3，故B正确；当l1l2l3时，l1，l2，
3、l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确5如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A，B，则ABAB等于()A21B31 C32D43答案A解析如图，由已知得AA面，ABA，BB面，BAB.设ABa，则BAa，BBa，在RtBAB中，ABa，ABAB21.6用m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是()A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，n，则mn答案D解析若mn，n，则m或m，故排除A；若m，
4、n，则mn或m，n异面，故排除B；若mn，n，则不能得出m，例如，mn，n，m，则m与不垂直，故排除C.故选D.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面说法正确的是()AA1C1ADBD1C1ABCAC1与DC成45角DA1C1与B1C成60角答案D解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1C1与AD所成的角为45；直线D1C1与直线AB平行；异面直线AC1与DC所成的角的大小为C1AB的大小，其正切值为1，所以异面直线AC1与DC所成的角不是45；连接A1D，DC1，因为A1DB1C，所以异面直线A1C1与B1C所成的角就是直线A1C1与直线A1D所成的角而A1DC1是等边
5、三角形，所以C1A1D60，即A1C1与B1C所成的角为60.所以答案选D.8如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知ADE是ADE绕边DE旋转过程中的一个图形现给出下列命题：恒有直线BC平面ADE；恒有直线DE平面AFG；恒有平面AFG平面ADE.其中正确命题的个数为()A0B1 C2D3答案D解析由BCDE知，恒有直线BC平面ADE，正确；由DEAG，DEFG知，恒有直线DE平面AFG，正确；由直线DE平面AFG，DE平面ADE知，恒有平面AFG平面ADE，正确9如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，S
6、A交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A. B. C45D45答案A解析取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，故AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，所以SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，其面积SHFHD.10PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均
7、为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 ()A. B. C. D.答案C解析构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交AB于D，于是CPO为直线PC与平面PAB所成的角设PCa，则PD，故POPDa，故cosCPO.故选C.11已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA平面ABC，ABBC，AB1，BC，若球O的表面积为4，则SA()A.B1 C. D.答案B解析根据已知把SABC补成如图所示的长方体因为球O的表面积为4，所以球O的半径R1,2R2，解得SA1，故选B.12在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2
8、AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C.D2答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆的半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异
9、面直线；MNCD.以上结论中正确结论的序号为_答案解析把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示因为ABMC，MCEF，所以ABEF，故正确，错误；EF与MN是异面直线，故正确；易知MNCD，故错误故填.14如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后二面角ABCD的正切值为_答案2解析易知BDC即为二面角BADC的平面角，则BDC60，所以BDC为等边三角形取BC的中点M，连接DM，AM，易知DMBC，AMBC，所以二面角ABCD的平面角为AMD.在等边三角形ABC中，易知AD2，在等边三角形BDC中，易知DM，所以ta
10、nAMD2.15已知矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面AC，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是_答案a6解析如图所示，连接AE，要使PEDE，由于DEPA，则需DEAE.要使在矩形ABCD中，AED90，满足条件的E点有两个，则需以AD为直径的圆与BC相割圆心到BC边的距离dR，即36.16如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_cm.答案2
11、9解析设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得R2Hr2(20H)r2hR2(28h)，又r1，R3，故Hh29.即这个简单几何体的总高度为29 cm.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A、点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即
12、为铁丝的最短长度AC5 cm，故铁丝的最短长度为5 cm.18.(本小题满分12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积解由题意知，所成几何体的表面积圆台下底面面积圆台的侧面积半球面的面积又S半球面4228(cm2)，S圆台侧(25)35(cm2)，S圆台下底5225(cm2)，所以所得几何体的表面积为S半球面S圆台侧S圆台下底8352568(cm2)又V圆台(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)，所以所得几何体的体积为V圆台V半球52(cm3)19(本小题满分12分)如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1
13、D1的底面是菱形，AA1平面ABCD，DAB60，ADAA1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点求证：(1)MF平面ABCD；(2)MF平面BDD1B1.证明(1)如图，连接AC交BD于点O，连接MO，OM綊DD1.又DD1綊A1A，OM綊A1A.又AFA1A，OM綊AF，四边形MOAF是平行四边形，MFCA.又CA平面ABCD，MF平面ABCD，MF平面ABCD.(2)底面ABCD是菱形，ACBD.又B1B平面ABCD，AC平面ABCD，ACB1B，而BDB1BB，AC平面BDD1B1.又MFAC，MF平面BDD1B1.20(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直
14、底面)ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.证明(1)如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1綊AC，BB1綊CC1.F，F1分别是AC，A1C1的中点，C1F1綊AF綊AC，FF1綊CC1綊BB1，四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形，B1F1BF，AF1C1F.B1F1平面C1BF，BF平面C1BF，B1F1平面C1BF.同理AF1平面C1BF，又B1F1AF1F1，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，又
15、B1F1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.21(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图中，BEA1O，BEOC，又A1OOCO，从而BE平面A
16、1OC.因为BC綊AD綊ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.22(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点
17、G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接PF，PAD是等边三角形，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD，BFAD.又PFBFF，AD平面BFP，又PB平面BFP，ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于G，GH平面ABCD.又GH平面DEG，平面DEG平面ABCD.ADBC，DFHECH，GHPF，VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsinGH.
