1、广东省中山纪念中学2011-2012学年高二第二学期第一次段考数学（理）试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数的虚部是 （ ） A B C D2、已知 ,则的值是 ( ) A. B. C. D. 3、 2012年欧洲杯足球赛将于6月份在波兰和乌克兰两个国家举行， 东道主波兰所在的A组共有四支球队， 四支球队之间进行单循环比赛， 共进行的比赛的场数为 （ ） A. 6 B. 12 C. 3 D. 84、由、 轴、 轴及直线围成的封闭图形的面积为 （ ） A. B. C. D. 5、的展开式中的系数为 （ ） A. 20
2、 B. -20 C. -15 D. 156、从5名男生和4名女生中选出4人,若男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,共有不同的选法种数是 ( ) A. 35 B. 45 C. 91 D. 1267、对于任意的， 若存在使得， 则称是“型集合”. 集合的所有非空子集中， 型集合的个数为 （ ） A. 16 B. 7 C. 8 D. 248、如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则 ( )A.1003 B.1005 C.1006 D.2011二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答
3、案写在答题卡相应位置上）9、 =_10、_.11、设， ， ， 则_.12、已知 观察以上等式的规律， 在横线处填写一个合适的式子使得下列等式成立，.13、一列火车正以的速度行驶， 前方遇到特殊情况需采取紧急制动， 已知在采取制动后秒时刻的速度（单位）为， 则火车从采取制动时到完全停下共行驶的距离为_（单位为）.14、若为正整数， ， 除以的余数为， 记作. 如15除以6的余数为3， 则. 数列满足， ， ，. 为数列的前项和， 则_, _.三、解答题（本大题共6小题，15题12分；16题、17题13分；其余各题14分；共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、(本小题满分12分
4、)已知， ， 的展开式中第2项、 第3项、 第4项的二项式系数成等差数列. （）求； （）求展开式中的系数； 16、(本小题满分13分) 2012年伦敦奥运会伦敦站的火炬传递中邀请了5位奥运冠军和3位歌手参加传递，（） 若3位歌手互不相邻， 求伦敦站的不同传递方案的种数. (直接用数字作答)（）在这8位参加传递的人中选3人参加一项奥运宣传活动， 用表示参加此次宣传活动的歌手的人数. 列出的所有可能的取值结果； 求随机变量的分布列； 求参加此次活动的人中歌手至少有2名的概率.17、(本小题满分13分)已知复数， 其中是实数， （）若在复平面内表示复数的点位于第一象限， 求的范围 （2）若是纯虚数
5、，是正实数 ， 求， 求18、(本小题满分14分) 已知 观察上述不等式的规律， 写出一个关于的不等式， 并用数学归纳法证明你所得的结论.19、 (本小题满分14分) 已知二次函数，直线：； 为常数 .若直线、与函数的图象，以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（）求的值（）求阴影面积关于的函数的解析式；（）当为何值时， 面积取得最大值，最大值为多少？20、(本小题满分14分)给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比
6、数列，并将此结论推广到表n（n3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1 ,4, 12，记此数列为 , 求和： () ;（）已知当,不等式 (其中)成立,求出满足等式的所有正整数.中山纪念中学2013届高二下学期一段考试题数学(理)参考答案及评分标准一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CBABDCBB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案写在答题卡相应位置上）9、 10、 0 11、 12、 13、 14、 ; 三、解答题（本大题共6小题，15题12分
7、；16题、17题13分；其余各题14分；共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、 解：(1)展开式中第2项、 第3项、 第4项的二项式系数分别为， ， . 由题意可知： 即 (4分)化简得 .(5分)又, 则. .(6分)(2) 展开式的通项为： (9分)根据题意， 得 即 .(10分)所以的系数为： . .(12分)16、 解： （1）14400 (2分)（2）的所有可能的取值结果为： 0， 1， 2, 3. (3分) ， ， 所以随机变量的分布列为： 0123 .(10分) 参加此次活动的人中歌手至少有2名的概率为： (13分).17、 解： (1) 易知 ， 由题意可知
8、， 则. .(4分)（2） 由于 (8分)由是纯虚数可知 即又为正实数， 则. （10分） 当时， ， 则 =0. (13分)18、 解： 关于的不等式为 .(3分)下面由数学归纳法证明结论（1） 当时， 左边=1， 右边=2， 显然不等式成立. .(4分)（2） 假设当时不等式成立， 即 .(5分)当时， (9分)下面证明不等式.方法（一）由基本不等式可知：, 所以 .(13分)（方法二）要证明只需证即证只需证即证显然成立， 得证 .(13分)从而有由（1）（2）可知对于任意的自然数， （）不等式均成立 . .(14分)19、（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(
9、x)的最大值为16则函数f（x）的解析式为4分（）由得0t2，直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（6分由定积分的几何意义知：， 0t2 (10分)（III） 易知令， 由于， 则. 则随着的变化， ， 的变化情况为： 12单减单增因此当时， 取得最大值， 最大值为. (14分)20、 解 （I）它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32， 它们构成首项为4， 公比为2的等比数列. (2分)将这一结论推广到表， 即 表各行的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为， 公比为2的等比数列. (4分)（II）表的第1行是， 其平均数是由（I）可知， 它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为， 公比为2的等比数列， 于是表中最后一行的唯一一个数为. 因此 .(5分), ()故=（）+（）+（）=(9分)（III） 当时， 所以 ，即.(12分)所以当时， 不存在满足该等式的正整数. 故只需要讨论的情形：当时， ， 等式不成立；当时， ， 等式成立；当时， ， 等式成立；当时， 是偶数， 但是奇数， 所以等式不成立；当时， 是奇数， 但是偶数， 所以等式不成立；综上， 满足条件的所有正整数为. (14分)
