1、1.5函数yAsin(x)的图象学 习 目 标核 心 素 养1.理解参数A、对函数yAsin(x)的图象的影响(重点)2会用“五点法”画函数yAsin(x)的简图;能根据yAsin(x)的部分图象确定解析式(重点)3掌握ysin x与yAsin(x)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤(重点、易混点)1.通过观察参数A、对函数yAsin(x)图象变化的影响,提升学生直观想象素养2通过对函数yAsin(x)图象和性质的研究,提升数学抽象素养.1对ysin(x),xR的图象的影响2(0)对ysin(x)的图象的影响3A(A0)对yAsin(x)的图象的影响4由函数ysin x的图象通过变换得
2、到yAsin(x)的图象有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”先平移后伸缩ysin x的图象ysin(x)的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象先伸缩后平移ysin x的图象ysin x的图象向左(0)或向右(0),平移个单位长度ysin(x)的图象yAsin(x)的图象思考:由函数ysin x的图象平移多少个单位得到ysin(x)个单位?为什么?提示平移个单位,而不是平移|单位,原因是图象的变换是针对x而言,并非针对x而言5函数yAsin(x),A0,0中参数的物理意义1函数ysin 4x的图象可由函数ysin x的图象经过怎样的变换得到()A所有点的横坐标变为原来的4
3、倍B所有点的横坐标变为原来的C所有点的纵坐标变为原来的4倍D所有点的纵坐标变为原来的Bysin x图象上所有点的横坐标变为原来的后变为ysin 4x的图象2要得到函数ysin的图象,只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度Bysinsin 4,故只需将ysin 4x图象向右平移个单位即可得到3函数yAsin(x)1(A0,0)的最大值为5,则A .4由已知得A15,故A4.4函数y3sin的频率为 ,相位为 ,初相为 x频率为,相位为x,初相为.作函数yAsin(x)的图象【例1】用“五点法”画函数y2sin在一个周期内
4、的简图思路点拨:列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤,令3x取0,2即可找到五点解先画函数在一个周期内的图象令X3x,则x,列表如下:X02xy020201本例中把“一个周期内”改为“”,又如何作图?解x,3x,列表如下:3x2x0y120201描点,连线2本例中,把“五点法”改为“图象变换法”,怎样画法?解法一:(先平移再伸缩)法二:(先伸缩再平移)1确定函数yAsin(x)的图象一般有两种方法:(1)“五点法”;(2)图象变换法2用“五点法”作函数yAsin(x)的图象,五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点3用“五点法”作函数yAsin(x)图象的步骤是
5、:第一步:列表:x02xy0A0A0第二步:在同一坐标系中描出各点第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象跟进训练1已知f(x)1sin,画出f(x)在上的图象解列表:x2x0f(x)211112三角函数图象之间的变换【例2】(1)将函数ycos的图象向左平移个单位长度,再向下平移3个单位长度,则所得图象的解析式为 (2)将ysin x的图象怎样变换可得到函数y2sin1的图象?思路点拨:(1)依据左加右减;上加下减的规则写出解析式(2)法一:ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移法二:左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移(1)ycos 2x3ycos的图象向左平移个单位长度,得ycos
6、cos(2x)cos 2x,再向下平移3个单位长度得ycos 2x3的图象(2)解法一:(先伸缩法)把ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y2sin x的图象;将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,得y2sin 2x的图象;将所得图象沿x轴向左平移个单位,得y2sin 2的图象;将所得图象沿y轴向上平移1个单位,得y2sin1的图象法二:(先平移法)将ysin x的图象沿x轴向左平移个单位,得ysin的图象;将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,得ysin的图象;把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍,得到y2sin的图象;将所得图象沿y轴向上平移1个单位,得y2
7、sin1的图象1本例(2)中,若两个函数若互换,那么将函数y2sin1图象怎样变换可得到函数ysin x的图象?2本例(2)中把“ysin x”改为“ycos x”,该怎样变换?由ysin x的图象,通过变换可得到函数yAsin(x)(A0,0)的图象,其变化途径有两条:(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)提醒:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期变换,平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换,平移个单位,这是很易出错的地方,应特别注意跟进训练2(1)要得到ycos的图象,只要将ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单
8、位C向左平移个单位 D向右平移个单位(2)把函数yf(x)的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,再把纵坐标缩短到原来的倍,所得图象的解析式是y2sin,则f(x)的解析式是()Af(x)3cos x Bf(x)3sin xCf(x)3cos x3 Df(x)sin 3x(1)A(2)A(1)因为ycossinsinsin 2,所以将ysin 2x的图象向左平移个单位,得到ycos的图象已知函数图象求解析式【例3】(1)已知函数f(x)Acos(x)B的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为()Ay2cos4By2cos4Cy4cos2Dy4cos2(2)函数f(x)Asi
9、n(x)中A0,0,|,且图象如图所示,求其解析式思路点拨:由最大(小)值求A和B,由周期求,由特殊点坐标解方程求.(1)A由函数f(x)的最大值和最小值得AB6,AB2,所以A2,B4,函数f(x)的周期为44.又0,所以,又因为点在函数f(x)的图象上,所以62cos4,所以cos1,所以2k,kZ,所以2k,kZ,又|,所以,所以f(x)2cos4.(2)解法一:(五点作图原理法)由图象知,振幅A3,T,所以2,又由点,根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)20得,所以f(x)3sin.法二:(方程法)由图象知,振幅A3,T,所以2,又图象过点,所以f3sin0,所以sin0,k
10、(kZ)又因为|,所以k0,所以f(x)3sin.法三:(变换法)由图象知,振幅A3,T,所以2,且f(x)Asin(x)是由y3sin 2x向左平移个单位而得到的,解析式为f(x)3sin3sin.确定函数yAsin(x)的解析式的关键是的确定,常用方法有:(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口“五点”的x的值具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0;“第二点”(即图象的“峰点”)为x;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)
11、为x;“第四点”(即图象的“谷点”)为x;“第五点”为x2.跟进训练3已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示,则f(x)的表达式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sinC根据图象得A2,T,可得T, ,又f(x)过点, 可得2sin0,由五点作图法可得,解得,所以f(x)2sin.故选C.三角函数图象与性质的综合应用探究问题1如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称轴方程?提示:与正弦曲线、余弦曲线一样,函数yAsin(x)和yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴函数yAsin(x)对称轴方程的求法:令sin(x
12、)1,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方程为x(kZ);函数yAcos(x)对称轴方程的求法:令cos(x)1,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAcos(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)2如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称中心?提示:与正弦曲线、余弦曲线一样,函数yAsin(x)和yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点函数yAsin(x)对称中心的求法:令sin(x)0,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAsin(x)的图象关于点(kZ)成中心对称;函数yAcos(x)对称中心的求法:令cos(x)0,得xk(k
13、Z),则x(kZ),所以函数yAcos(x)的图象关于点(kZ)成中心对称【例4】(1)已知函数f(x)sin(0),若ff,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则()A.B. C.D.(2)已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求和的值思路点拨:(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性,何时取到最小值,再列方程求的值(2)先由奇偶性求,再由图象的对称性和单调性求.(1)B因为ff,所以直线x是函数f(x)图象的一条对称轴又因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以当x时,f(x)取得最小值所以2k,kZ,解得8k(kZ)又因
14、为T,所以12.又因为0,所以k1,即8.(2)解由f(x)是偶函数,得f(x)f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称,f(x)在x0时取得最值,即sin 1或1.依题设0,解得.由f(x)的图象关于点M对称,可知sin0,即k,解得,kZ.又f(x)在上是单调函数,所以T,即.2,又0,k1时,;k2时,2.故,2或.1将本例(2)中“偶”改为“奇”,“其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”,试求的最大值解因为f(x)是奇函数,所以f(0)sin 0,又0,所以0.因为f(x)sin x在上是增函数所以,于是,解得0,所以的最大值为.2本例(2)中增加条件“1
15、”,求函数yf2(x)sin 2x,x的最大值解由条件知f(x)sincos 2x.由x得2x,sin 2x,yf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x.所以当sin 2x时,ymax.1正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数yAsin(x),当k(kZ)时为奇函数,当k(kZ)时为偶函数;对于函数yAcos(x),当k(kZ)时为偶函数,当k(kZ)时为奇函数2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间(2)确定函数yAsin(x)(A0,0
16、)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将x看作一个整体,可令“zx”,即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间1利用“五点”作图法作函数yAsin(x)的图象时,要先令“x”这一个整体依次取0、2,再求出x的值,这样才能得到确定图象的五个关键点,而不是先确定x的值,后求“x”的值2由函数yAsin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A、的值(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T,所以往往通过求得周期T来确定,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个
17、最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口,以yAsin(x)(A0,0)为例,位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点3在研究yAsin(x)(A0,0)的性质时,注意采用整体代换的思想,如,它在x2k(kZ)时取得最大值,在x2k(kZ)时取得最小值1下列判断正确的是()A将函数ysin的图象向右平移个单位可得到函数ysin x的图象B将函数ysin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍即可得到函数ysin x的图象C将函数ysin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数ysin的图象D函数ysin的
18、图象是由函数ysin 4x的图象向右平移个单位得到的BA错,应该向左平移个单位;C错,横坐标伸长到原来的2倍,得到ysin;D错,应该向右平移个单位,只有B正确2函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3,B6,C3,3, D6,3,Bysin的周期T6,振幅为,初相为.3函数f(x)sin(x)1(0,|) 的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)()AsinBsinCsin1 Dsin1D由函数f(x)sin(x)1的部分图象知,f(0)sin 1,sin ,|,又fsin12,sin1,0,2;f(x)sin1;将f(x)的图象向右平移个单位长度,得函数g(x)的图象,则g(x)sin1sin1.故选D.4已知函数y2sin(2x)的一条对称轴为x,则的值为_x是函数y2sin(2x)的一条对称轴,2k,kZ.则k,kZ.又0,取k0,得.故答案为.5已知函数f(x)3sin3(xR),用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象解(1)列表:x02f(x)36303(2)描点画图: