1、高考资源网（） 您身边的高考专家第15练存在与恒成立问题题型分析高考展望“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力，训练时应注意破题方法的研究体验高考1(2015课标全国改编)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是_答案解析设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得当xx0时，g(x)的图象在直线yaxa的下方因为g(x)
2、ex(2x1)，所以当x时，g(x)时，g(x)0，g(x)单调递增所以当x时，g(x)min当x0时，g(0)1，g(1)e0，直线ya(x1)恒过(1,0)且斜率为a，故ag(0)1，且g(1)3e1aa，解得a0(0xg(0)0，x(0,1)，即当x(0,1)时，f(x)2.(3)解由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减故当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0,1)恒成立综上可知，k的最大值为2.高考题型精练1已知函数f(x
3、)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0.f(x)在(0,4)上递减，在(4，)上递增，当x0，)时，f(x)minf(4)要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解得m.2已知存在实数a，使得关于x的不等式a恒成立，则a的最大值为_答案2解析由a，可得0x4，由f(x)，其中y在0,4上单调递增，y在0,4上单调递增，可得f(x)在0,4上单调递增，可得f(x)取得最小值f(0)2，可得a2，即a的最大值为2.3函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式ex
4、f(x)ex1的解集为_答案x|x0解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.4当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_答案6，2解析当x0时，ax3x24x30变为30，恒成立，即aR.当x(0,1时，ax3x24x3，a恒成立，amax.设(x)，(x)0，(x)在(0,1上单调递增，(x)max(1)6，a6.当x2,0)时，a恒成立，amin.仍设(x)，(x).当x
5、2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.5在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)若直线xym0上存在点P使得PAPB，则实数m的取值范围是_答案2，2解析设P(x，xm)，PAPB，4PA2PB2，4(x1)24(xm)2(x4)2(xm)2，化为(xm)24x2，4x20，解得x2,2，mx，令x2cos ，0，m2cos 2sin ，即m2sin()或m2sin()，实数m的取值范围是2，2 6已知二次函数f(x)ax2bxc的导函数为f(x)，f(x)0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_答案2解析f
6、(x)2axb，f(0)b0.由题意知，ac，c0，2，当且仅当ac时“”成立7已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.8若在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立，则a的取值范围是_答案(，1)解析2x(3xa)1可化为a2x3x，则在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立，等价于a(2x3x)max，而2x3x在0,1上单调递减，2x3x的最大值为2001，a0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(
7、0)1.根据题意可知，存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.10已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立(1)解x(0，)，有2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0
8、，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即a的取值范围为(，4(2)证明问题等价于证明xln x(x(0，)恒成立f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，都有ln x成立11(2016课标全国丙)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，11，证明：当x(0,1)时，1(c1)xcx.(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即11，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c.令g(x)0，解得x0.当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.- 11 - 版权所有高考资源网
