1、第一章 集合与函数概念与性质诊疗一集合1. 精要总结集合的有关概念是解决集合问题的基础，也是学习其他数学知识的语言工具，试题多以选择题或填空题的形式出现，主要应用集合的基本概念和元素的特征进行分析和检验.集合中元素的“三性”是指集合中元素的确定性、元素的互异性和元素的无序性，抓住的集合中元素这三个特性就等于抓住了集合的本质特征，也就抓住了解决问题的理论依据确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不
2、同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.当集合为有限集时，一般有列举法，当集合为无限集时，不宜采用列举法，这时，宜用描述法或图示法.对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用.集合中的参数问题，是指集合适合的条件中“适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性强，难度也较大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性
3、.2. 错例辨析例1:已知集合，若，求实数m的取值范围.误解：，得,得.分析：忽视了空集的特性.正解：若，则m+12m-1，即此时 若，则，得，则由可知：m的取值范围是针对练习1已知集合，若，求实数的值例2已知集合，且有求a、b的值.误解：因为,所以M=N由题意可知：a+2=1或或，解得：a=-1或a=-2或a=0.由题意得：或，解得或或分析：集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性.上述解法中忽视了元素的互异性原则.正解：据元素的互异性可排除-1和2，a=0 据元素的互异性得或针对练习2若，且，试求实数例3已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN误解：由方
4、程组得抛物线和直线的交点为(0,0),(1,2).所以MN=(0,0),(1,2)分析：在集合运算之前，首先要认清集合中元素的特征，集合M=y|y=x2+1，xR是数集，此集合与集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，属于图形范畴.正解：M=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1针对练习3已知，求二.函数概念与性质1.精要总结函数是中学数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素函数
5、定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集由函数定义知，由于函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，于是确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应关系因此，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，才是同一函数符号是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象或表格，还可以用文字描述；y是自变量对应的函数值，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量对应的函数值对函数奇偶性的学习注意以下几点:要正确理解奇函数和偶函数的定义.定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若是定义域中的一个数值，则也必然在
6、定义域中，因此，函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.奇偶性是函数在定义域上的对称性质.单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势.函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相关关系.奇函数在有定义，则.事实上，所以对函数单调性的学习注意以下几点:函数的单调性是针对函数定义域内的某个子区间而言的有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间
7、上可能是减函数，如二次函数.函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性，即“任意取”，“任意”二字不能随便丢掉证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是之间有大小，通常规定；三是同属一个单调区间三者缺一不可若函数在其定义域内的两个区间上都是增（减）函数，一般不能简单认为在上是增（减）函数如在上是减函数，在上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数函数单调性的判断及单调区间的确定的常用方法有：定义法：它是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法，一般地函数的单调性证明都是利用定义来完成的复合函数法：对于复合函数，若,在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；若,在所讨论的区间上一
8、个增函数，另一个是减函数，则y=是减函数利用课本习题的结论：在公共定义域上两个增函数的和仍然是增函数，两个减函数的和仍然是减函数.2. 错例辨析例4:已知函数的定义域为，求函数的定义域误解：由于函数的定义域为，即，的定义域是分析：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.正解：由于函数的定义域为，即满足，的定义域是针对练习4设函数的定义域为，求函数的定义域.例5:已知：，求.误解： ，故，330.分析：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：
9、 ，针对练习5函数对于任意实数满足条件，若求.例6：求函数，的值域.误解：又，的值域是分析:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解：配方，得，对称轴是当时，函数取最小值为2，的值域是针对练习6求函数的值域.例7: 函数y=的单调增区间是_.误解：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是误解分析：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=的定义域是，又在区间上增函数
10、，在区间是减函数，所以y=的增区间是针对练习7求函数的单调区间.例8: 判断函数的奇偶性.误解：，是偶函数分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：有意义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数针对练习8判断函数（）的奇偶性答案及解析本章诊疗针对练习:1. 由已知，易得，或或若，由，得；若，由，得；若，由无解，得或或2AB=2，5，由，解得或当a=1时，与元素的互异性矛盾，故舍去；当时，此时，这与矛盾，故又舍去；当时，此时满足题意，故为所求3. ，4. 由题意，得即，解此不等式组，需讨论1-m与m的大小.（1）当，即时，不等式组无解，此时函数关系不存在；（2）当，即时，；（3）当，即时，综上，当0时，函数的定义域为.5由得，所以，则6 ， 当时，当时， 所给函数的值域为7. 的定义域为，而.可由和复合而成，而单调递增，在上是减函数，在上是增函数，所求的单调递增区间为，单调递减区间为.8.由或得,定义域不关于原点对称,故不是奇函数也不是偶函数.
