1、 15.2双曲线【考纲要求】1、了解双曲线的实际背景，了解双曲线上在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3、了解双曲线的简单应用.4、 理解数形结合的思想.【基础知识】1、 双曲线的定义平面内与两个定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。当平面内与两个定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是射线或射线; 当平面内与两个定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹不存在.平面内与两个定点距离的差等于常数的点的轨迹是双曲线的一支。如果焦点在轴上，,则动点的轨迹是双曲线的右支
2、；如果焦点在轴上，,则动点的轨迹是双曲线的左支。1、 双曲线的标准方程设(是双曲线上任意一点，双曲线焦点的坐标分别为，又点与点的距离的差的绝对值等于常数则双曲线的标准方程是：（其中(2)设(是双曲线上任意一点，双曲线焦点的坐标分别为，又点与点的距离的差的绝对值等于常数则双曲线的标准方程是：（其中2、 双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程图形范围对称性既是中心对称，又是轴对称，原点是双曲线的对称中心，轴和轴是双曲线的对称轴顶点离心率焦点焦距（其中）实轴长虚轴长准线方程渐近线方程通径4、点和双曲线的位置关系（1）点在双曲线内（2）点在双曲线上（3）点在双曲线外5、求双曲线的方程，用待定系数法，
3、先定位，后定量。 同渐近线的双曲线系可以设为，再根据已知条件求出的值。6、双曲线的弦长公式：弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线;公式中表示直线的斜率，是直线和双曲线的方程组消去化简后中的系数，是的判别式；不一定是一元二次方程；如果是先消去，则弦长公式变为，其中是直线的斜率，是中的系数，是的判别式。7、实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的离心率为渐近线方程为。8、如果双曲线中，涉及双曲线上的点到焦点的距离或涉及焦点弦，一般可考虑使用双曲线的定义，使用几何法求解，比使用方程组要简单。9、涉及双曲线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运
4、算。10、点差法 在圆锥曲线中，如果已知弦的中点常利用点差法来构造方程组。其基本步骤是设两点代两点作差。使用点差法一般会得到直线的斜率和弦的中点的方程。11、研究双曲线的交点问题，经常要以渐近线为参照对象来研究，这样可以优化解题。【例题精讲】例1 P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆 (x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为多少？解：双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.
5、例2 (1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e，且与椭圆1有共同的焦点，求该双曲线的 方程解：(1)切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(，0)，c，又e，a28，b22.双曲线方程为1.例3 已知双曲线C：y21，P是C上的任意点(1)求证：点P
6、到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是.点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x3)2y2(x3)21(x)2.|x|2，当x时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为. 15.2双曲线强化训练【基础精练】1已知定点A、B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值是()A. B.C. D52已知点F1
7、(，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 ()A. B. C. D23已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m()A1 B2 C3 D44设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且0，则| ()A. B2 C. D25F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 ()A1 B2C3 D36斜率为2的直线l过双曲线1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是 ()Ae B1eC1e De7 A
8、、F分别是双曲线9x23y21的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上任一点，若PFAPAF，则_.8已知圆C：x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_9双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值是_10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2面积11已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，原点O到直线l的距离是.(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若
9、23，求直线m的方程12已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围【拓展提高】1已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；
10、(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围 【基础精练参考答案】1.C【解析】：因为|AB|4，|PA|PB|3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2.2.A【解析】：由已知可知c，a1，b1，双曲线方程为x2y21(x1)代入可求P的横坐标为x.P到原点的距离为 .3.D【解析】：双曲线9y2m2x21(m0)，一个顶点(0，)，一条渐近线3ymx0， m4.4.B【解析】：设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点点P在双曲线上，且0，则|2|2.5.A【解析】：由PF1F2
11、为等腰直角三角形，又|PF1|PF2|，故必有|F1F2|PF2|，即2c，从而得c22aca20，即e22e10，解之得e1，e1，e1.6.D【解析】：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大 于2，即2，因此该双曲线的离心率e .7.2【解析】：特殊值法，取点P为(，1)，得PFA2PAF，故2.8. 1【解析】：令x0，得y24y80，方程无解即该圆与y轴无交点令y0，得x2或x4，符合条件的双曲线a2，c4，b2c2a216412且焦点在x轴上，双曲线方程为1.9. 【解析】：24a2b24a23a2b2，则a2 ，当a即a时取最小值.10.解：(1)e，可设双曲线方程
12、为x2y2.过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF26.11.解：(1)依题意，l方程1，即bxayab0，由原点O到l的距离为，得，又e，b1，a.故所求双曲线方程为y21.(2)显然直线m
13、不与x轴垂直，设m方程为ykx1，则点M、N坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的解，消去y，得(13k2)x26kx60.依题意，13k20，由根与系数关系，知x1x2，x1x2(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2x1x2(kx11)(kx21)(1k2)x1x2k(x1x2)111.又23，123，k，当k时，方程有两个不相等的实数根，方程为yx1或yx1.12.解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，b21，双曲线方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知解得k1
14、.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xAxB，yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2，AB的中点P的坐标为(，)设直线l0的方程为：yxb，将P点坐标代入直线l0的方程，得b.k1，213k20，b2.b的取值范围为(，2)【拓展提高参考答案】x 1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1) (kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23， 由得k21，故k的取值范围为(1，)(，1)2.解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2.又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)则x1x2，x0，y 0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1. 将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(，0)(4，)
