1、1向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1 化简下列各式：(1)(2)(2)；(2)3(2a8b)6(4a2b).解(1)(2)(2)22222()()2.(2)3(2a8b)6(4a2b)(6a24b24a12b)(18a36b)ab.点评向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式
2、出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数例2 如图，已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.解析如图，因为0，即()，即，延长AM，交BC于D点，所以D是BC边的中点，所以2，所以，所以23，所以m3.答案3点评求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值.三、表示向量例3 如
3、图所示，ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b，用向量a，b表示、.解因为DEBC，所以b，ba，由ADEABC，得(ba)，又M是ABC底边BC的中点，DEBC，所以(ba)，aa(ba)(ab).点评用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.2走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现
4、错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区.一、理解失误例1 已知e1、e2是平面内的一组基底，那么下列命题中正确的有_.(只填序号)e1、e2两个向量可以共线，也可以是零向量；e1e2可以表示平面内的所有向量；对于平面内的任意向量a，使ae1e2的实数、有无数对.错解正解由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以正确，错误；故正确答案为.答案点评对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；该平面内的任意向量a都可用e1、
5、e2线性表示，且这种表示是唯一的；对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.二、考虑不全例2 与向量d(12,5)平行的单位向量为()A.(，)B.(，)C.(，)或(，)D.(，)错解由题意得|d|13，则与d(12,5)平行的单位向量为(，)，选择A.正解与d(12,5)平行的单位向量为(，)或(，).选C.答案C点评与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况.三、概念混淆例3 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设3，2，试求点M，N和向量的坐标.错解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，所以(23,44)(1,8)，(33，
6、14)(6,3)，3(3,24)，2(12,6)，所以点M(3,24)，点N(12,6)，(9，18).正解已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).所以(23,44)(1,8)，(33，14)(6,3)，3(3,24)，2(12,6)，又C(3，4)，所以点M(0,20)，点N的坐标为(9,2)；所以(90,220)(9，18).点评向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等.3平面向量的基本定理应用三技巧技巧一构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且ax1e1y1e
7、2x2e1y2e2，则用来求解.例1在OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|13，|14，设线段AN与BM交于点P，记a，b，用a，b表示向量.解B，P，M共线，存在常数s，使s，则.即ab.同理，存在常数t，使t，则ab.a，b不共线，解之得，ab.点评这里选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.技巧二构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，ax1e1y1e2，bx2e1y2e2，且ab，则x1y2x2y10”来求解.例2如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，b.(1)用a、b表示；(2)
8、已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设p，q，求证：1.(1)解设manb，则(m1)anb，ab.点A、M、D共线，与共线，(m1)(1)n0，m2n1.而(m)anb，ab.C、M、B共线，与共线，n(m)0.4mn1.联立可得m，n，ab.(2)证明(p)ab，paqb，与共线，(p)q(p)0.qpqp，即1.点评这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三将题目中的已知条件转化成1e12e20的形式(e1，e2不共线)，根据120来求解.例3如图，已知P是ABC内一点，且满足条件230，设Q为CP的延长线与AB的
9、交点，令p，试用向量p表示.解，()2()30，3230，又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，3230，(2)(33)0.而，为不共线向量，2，1.故22p.点评这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成1e12e20的形式来求解.4直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.一、直线的方向向量1.定义设P1，P2是直线l：AxByC0上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量都称
10、为直线l的方向向量，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则的坐标为(x2x1，y2y1)；特别当直线l与x轴不垂直时，即x2x10，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为(1,0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(B，A).2.应用(1)求直线方程例1已知三角形三顶点坐标分别为A(2，3)，B(7,9)，C(18,9)，求AB边上的中线、高线方程以及C的内角平分线方程.解求中线方程由于(25,0)，(16，12)，那么AB边上的中线CD的方向向量为(41，12)，也就是，因而直线CD的斜率为，那么直线CD的方程为y9(x18)，
11、整理得12x41y1530.求高线方程由于kAB，因而AB的方向向量为，而AB边上的高CEAB，则直线CE的方向向量为，那么高线CE的方程为y9(x18)，整理得3x4y180. 求C的内角平分线方程(1,0)，则C的内角平分线的方向向量为，也就是，因而内角平分线CF的方程为y9(x18)，整理得x3y90.点评一般地，经过点(x0，y0)，与直线AxByC0平行的直线方程是A(xx0)B(yy0)0；与直线AxByC0垂直的直线方程是B(xx0)A(yy0)0.(2)求直线夹角例2已知l1：x3y150与l2：y3mx60的夹角为，求m的值.解直线l1的方向向量为v1(3,1)，直线l2的方
12、向向量为v2(1,3m)，l1与l2的夹角为，|cosv1，v2|，化简得18m29m20.解得m或m.点评一般地，设直线l1：yk1xb1，其方向向量为v1(1，k1)，直线l2：yk2xb2，其方向向量为v2(1，k2)，当1k1k20时，两直线的夹角为90；当1k1k20时，设夹角为，则cos ；若设直线l1：A1xB1yC10，其方向向量为(B1，A1)，直线l2：A2xB2yC20，其方向向量为(B2，A2)，那么cos .二、直线的法向量1.定义直线AxByC0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v，则nv0，从而对于直线AxByC0
13、而言，其方向向量为v(B，A)，则由于nv0，于是可取n(A，B).2.应用(1)判断直线的位置关系例3已知直线l1：axy2a0与直线l2：(2a1)xaya0.(1)若l1l2，求实数a的值；(2)若l1l2，求实数a的值.解直线l1，l2的法向量分别为：n1(a，1)，n2(2a1，a)，(1)若l1l2，则n1n2a(2a1)(1)a0，解得a0或a1.a0或1时，l1l2.(2)若l1l2，则n1n2，a2(2a1)(1)0.解得a1，且2.a1时，l1l2.点评一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的法向量分别为n1(A1，B1)，n2(A2，B2)
14、，当n1n2，即A1A2B1B20时，l1l2，反之亦然；当n1n2，即A1B2A2B10时，l1l2或l1与l2重合.(2)求点到直线的距离例4已知点M(x0，y0)为直线l：AxByC0外一点.求证：点M(x0，y0)到直线l的距离d.证明设P(x1，y1)是直线AxByC0上任一点，n是直线l的一个法向量，不妨取n(A，B).则M(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d等于向量在n方向上投影的长度，如图所示：d|cos，n|.点P(x1，y1)在直线l上，Ax1By1C0，Ax1By1C，d.点评同理应用直线的法向量可以证明平行直线l1：AxByC10与直线l2：AxByC20(A2B20且C1C2)的距离为d.证明过程如下：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别为直线l1：AxByC10，直线l2：AxByC20上任意两点，取直线l1，l2的一个法向量n(A，B)，则(x2x1，y2y1)在向量n上的投影的长度，就是两平行线l1、l2的距离.d|cos，n|.
