1、题目 第四章三角函数任意角的三角函数、诱导公式高考要求 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义会求yAsin(xj)的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式知识点归纳 1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点P到原点的距离记为,那么; ; ; (; ; )2 三角函数的符号:sin+cos+tan+cot+由三角函数的定义,
2、以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:正弦值对于第一、二象限为正(),对于第三、四象限为负();余弦值对于第一、四象限为正(),对于第二、三象限为负();正切值对于第一、三象限为正(同号),对于第二、四象限为负(异号)说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。3特殊角的三角函数值:0sin010cos100tan010cot1004三角函数的定义域、值域:函 数定 义 域值 域5诱导公式:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”。诱导公式一:,其中诱导公式二: ; 诱导公式三: ; 诱导公式四:; 诱导公式五:; sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscos
3、coscossin(1)要化的角的形式为(为常整数);(2)记忆方法:“函数名不变,符号看象限”。任意角的概念的意义,任意角的三角函数的定义,同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础,因而三学习本节内容时要注意如下几点:(1)熟练地掌握常用的方法与技巧,在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制;(2)要注意差异分析,又要活用公式,要善于瞄准解题目标进行有效的变形,其解题一般思维模式为:发现差异,寻找联系,合理转化。只有这样才能在高考中夺得高分题型讲解 例1已知角的终边过点,求的六个三角函数值。解:因为过点,所以, 当; ;当 ;例2 已知角的终边上一点,且
4、,求的值。解:由题设知,所以,得,从而,解得或当时, ;当时, ;当时, 例3 若sin0,试确定所在的象限。分析一:首先确定sin与cos的符号,再判断所在的象限。解析一:由sin0知。由(1)知在第一象限,由(2)知在第三象限,所以在第一或第三象限。分析二:先化简关系式再确定的范围。解析二:由sin0有0,即sin20,所以,当k=2n(nZ)时,为第一象限,当k=2n+1(nZ)时,为第三象限故,为第一或第三象限。分析三:因判断所在的象限,故本题可以用特殊值(各个象限各取一个)来判断。解析三:若令=代入sin0,可以验证知,只有=满足条件,所以为第一或第三象限。例4 化简:(1);(2)
5、解:(1)原式(2)原式 例5 化简解:原式例6 化简解:当时,原式当时,原式点评:关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别,所以必须把分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论。例7化简:分析:如果用和差角的三角函数进行化简,显然很繁杂,若是观察到420+480=900,450+450=900,则可以直接应用诱导公式求解。解:原式= =12=1=点评:在解答化简问题时,要注意次数尽量可能低;项数尽可能少,函数种类尽量减少;尽量不含分式和根式,能求出值的尽量求出值。除之之外,善于发现差异,寻找联系,能进行合理的转化,也是非常重要的。如本题充分利用了角之间的联系,即互余关系,然后借助诱导
6、公式和平方关系轻松求解。例8若,求:的值。分析:由已知条件首先求出的值,再将所求式化简,可由“奇变偶不变,符号看象限”一步法化简,或直接运用诱导公式“负化正,大化小”化简,最后代值即可。解法一:由有解法二:原式=小结:(1)三角函数在各个象限的符号如下(理论根据是任意角的三角函数的定义):正弦、余弦、正切函数在第一象限全正,在第二象限只有正弦为正,在第三象限只有正切为正,在第四象限只有余弦为正,而余割、正割、余切分别与正弦、余弦、正切的符号相同。(2)当判断 “形如”的三角函数符号问题时,首先应将函数值看成一个角(此角是以弧度制表示的),再设法弄清表示角的三角函数值的取值范围,即此角“”是第几
7、象限角。(3)在判断角的象限时,要灵活地选取方法,如特殊值对解选择题、填空题来说更好,可以节省更多的时间,而且也提高了准确率。(4)由“奇变偶不变,符号看象限”一步法化简比直接采用诱导公式化简要简捷得多,但在使用“奇变偶不变,符号看象限”时要对其真正的含义有透彻的理解,即诱导公式的左边为k900(kZ)的正弦(切)或余弦(切)函数,当k为奇数时,右边的函数名称正余互变;当k为偶数时,右边的函数名称不改变,这就是“奇变偶不变”的含义,再就是将“看成”锐角(可能并不是锐角,也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角),然后分析k900(kZ)为第几象限角,再判断公式左边这个三角函数在此象限是正
8、还是负,也就是公式右边的符号。学生练习 1已知集合,则这三个集合之间的关系为() 2已知角的终边过点,则 , 3若是第四象限角,则是第 象限角,是第 象限角。4若,且为二、三象限角,则的取值范围是 5已知,则 6ctg10 +ctg170+sin220+sin400+cos220+cos(40)= 7已知角a的终边经过点P(4k,3k) (k0),则cosa的值为 8若sin(q/2)=4/5,且sinq0,则q 所在的象限是 9当0a时,化简 10函数y=的定义域是 11函数y=sinx/|sinx|+cosx/|cosx|+tgx/|tgx|+ctgx/|ctgx|的值域是 12已知点,在角的终边上,求、的值。13已知,求的值。14化简;参考答案:1B 2, 3 3三、二 4 5 6 0 7 4/5 8第三象限9a(0,/4,2cosa; a(/4,3/4, 2sina; a(3/4,), 2cosa10 0,/2 11 4,2,0 12因为, ,所以=5(1) 当时,则, , (2) 当时,则, , 13因为,所以故原式=14 (1)当(时,原式= (2)当(时,原式=课前后备注