1、基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法第4讲数列求和基础诊断考点突破课堂总结1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Sn_等比数列的前n项和公式()当q1时，Sn_；()当q1时，Sn_.知 识 梳 理n（a1an）2 na1n（n1）2da1（1qn）1qa1anq 1q na1基础诊断考点突破课堂总结(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着
2、写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广基础诊断考点突破课堂总结(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2常见的裂项公式(1)1n（n1）1n 1n1.(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1.(3)1n n1 n1 n.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT
3、展示(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n2112(1n1 1n1)()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)若数列 a1，a2a1，anan1 是首项为 1，公比为 3的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()基础诊断考点突破课堂总结2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2答案 C解析 Sn2（12n）12n（12n1）22n12n2.基础诊断考点突破课堂总结
4、3数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A9 B8 C17 D16 解析 S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案 A基础诊断考点突破课堂总结4已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100基础诊断考点突破课堂总结解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，a14d5，5a15（51）2d15，a11，d1，ana1(n1)dn.1anan11n（n1）1n 1n1，数 列1anan1 的 前 1
5、00 项 和 为 112 1213 1100 1101 1 1101100101.答案 A基础诊断考点突破课堂总结5(人教A必修5P61A4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析 设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxn1xn1x nxn，Sn1xn（1x）2 nxn1x.答案 1xn（1x）2 nxn1x基础诊断考点突破课堂总结考点一 分组转化法求和【例 1】设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数 f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x 满足f2 0.(1)求数列an 的通项公式；
6、(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)由题设可得 f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.对任意 nN*，f2 anan1an2an10，即 an1anan2an1，故an为等差数列基础诊断考点突破课堂总结由 a12，a2a48，解得an的公差 d1，所以 an21(n1)n1.(2)因为 bn2an 12an 2n1 12n1 2n 12n2，所以 Snb1b2bn(222)2(12n)12 122 12n2n2n（n1）212112n112n23n1 12n.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等
7、比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式基础诊断考点突破课堂总结【训练1】在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12，所以数列an的通项公式为 an2n.(2)由题意知 bnn(n1)所以 Tn122334(1)nn(n1)基础诊断考
8、点突破课堂总结因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122nn2（42n）2n（n2）2.当 n 为奇数时，TnTn1(bn)（n1）（n1）2n(n1)（n1）22.所以 Tn（n1）22，n为奇数，n（n2）2，n为偶数.基础诊断考点突破课堂总结考点二 错位相减法求和【例2】(2014江西卷)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令 cnanbn，求数列cn的通项公式；(2)若 bn3n1，求数列an的前 n 项和 Sn.解(1)因为 anbn1an1bn2bn1bn0，b
9、n0(nN*)，所以an1bn1anbn2，即 cn1cn2.所以数列cn是以首项 c11，公差 d2 的等差数列，故cn2n1.基础诊断考点突破课堂总结(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是数列an前n项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解；(2)
10、在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann 是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.(1)证明 由已知可得 an1n1ann 1，即 an1n1ann 1.所以ann 是以a11 1 为首项，1 为公差的等差数列基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)得ann1(n1)1n，所以 ann2.从而 bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2S
11、n31323nn3n13（13n）13n3n1（12n）3n132.所以 Sn（2n1）3n134.基础诊断考点突破课堂总结考点三 裂项相消法求和【例 3】正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1（n2）2a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 564.(1)解 由 S2n(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以 Sn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通
12、项 an2n.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 由于 an2n，bnn1（n2）2a2n，则 bnn14n2（n2）2 1161n21（n2）2.Tn 1161 132 122 142 132 1521（n1）21（n1）2 1n21（n2）2 1161 1221（n1）21（n2）2 1161 122 564.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2014山东卷)已知等
13、差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n14nan an1，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)因为 S1a1，S22a1212 22a12，S44a1432 24a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11，所以 an2n1.基础诊断考点突破课堂总结(2)bn(1)n1 4nanan1(1)n14n（2n1）（2n1）(1)n112n112n1.当 n 为偶数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1112n1 2n2n1.基础诊断考点突破课堂总结当 n 为奇数时，Tn113
14、 1315 12n312n1 12n112n1 112n12n22n1.所以 Tn2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.或Tn2n1（1）n12n1基础诊断考点突破课堂总结思想方法非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和基础诊断考点突破课堂总结易错防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项
