1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0,而且在点xa附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0,而且在点xb 附近的左侧f(x)0,右侧f(x)2时,f(x)0,此时f(x)为增函数;当0x2时,f(x)0,f(x)在R上单调递增,f(x)无极值当a0恒成立,得x2或x1时,f(x)0,且x0;2x1时,f(x)1时,f(
2、x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.角度3根据极值求参数3.(2018北京高考)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x2处取得极小值,求a的取值范围解(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex,所以f(x)2ax(4a1)exax2(4a1)x4a3exax2(2a1)x2ex,f(1)(1a)e.由题设知f(1)0,即(1a)e0,解得a1.此时f(1)3e0,所以a的值为1.(2)解法一:由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(
3、x2)ex.若a,则当x时,f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a,则当x(0,2)时,x20,ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知,a的取值范围是.解法二:当a0时,令f(x)0,得x2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:当x2时,f(x)取得极大值,不符合题意当a0时,若,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:当x2时,f(x)取得极小值,符合题意若2,即a,f(x)0,f(x)单调递增,f(x)无极值,不符合题意若2,即0a,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:当x2时,f(x)取得极大值,不符合题意综上所述,a.1.熟记运用导数解决函
4、数极值问题的一般流程2已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.1函数f(x)x25x2ex的极值点所在的区间为()A(0,1) B(1,0)C(1,2) D(2,1)答案A解析f(x)2x52ex为增函数,f(0)30,f(x)2x52ex的零点在区间(0,1)上,f(x)x25x2ex的极值点在区间(0,1)上2若函数f(x)x32cx2x有极值点,则实数c的取值范围为()A.B.C.D.答案D解析若函数f(x)x32cx
5、2x有极值点,则f(x)3x24cx10有根,故(4c)2120,从而c或c.故实数c的取值范围为.3函数f(x)的极小值为_答案解析f(x).令f(x)0,得x1.令f(x)0,得2x1)在区间1,1上的最大值为1,最小值为1,则a_,b_.答案1解析因为f(x)3x23ax3x(xa),令f(x)0,解得x0或xa.因为a1,所以当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:由题意得b1.则f(1),f(1)2,f(1)0,所以函数f(x)在1,e上单调递增,则f(x)maxf(e)1me;b当e,即00,所以函数f(x)在1,e上单调递增,则f(x)maxf(e)1me;c当1e,即m
6、1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,则f(x)maxfln m1;d当01,即m1时,由x1,e,得f(x)0,所以函数f(x)在1,e上单调递减,则f(x)maxf(1)m.综上,当m时,f(x)max1me;当m1时,f(x)maxln m1;当m1时,f(x)maxm.条件探究把举例说明2中函数f(x)改为f(x)xln xa(x1),其中aR,求f(x)在区间1,e上的最小值解f(x)xln xa(x1),则f(x)ln x1a,由f(x)0,得xea1.所以在区间(0,ea1)上,f(x)为减函数,在区间(ea1,)上,f(x)为增函数当ea11,即a1时,在区间1,e上,
7、f(x)为增函数,所以f(x)的最小值为f(1)0.当1ea1e,即1a2时,f(x)的最小值为f(ea1)aea1.当ea1e,即a2时,在区间1,e上,f(x)为减函数,所以f(x)的最小值为f(e)aeae.综上,当a1时,f(x)的最小值为0;当1a0,解得x1,令f(x)0,解得x1.2(2018北京石景山区模拟)已知f(x)exax2,曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为ybx1.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在0,1上的最大值;(3)当xR时,判断yf(x)与ybx1交点的个数(只需写出结论,不要求证明)解(1)f(x)exax2的导数为f(x)ex2ax,由已知可
8、得f(1)e2ab,f(1)eab1,解得a1,be2.(2)令g(x)f(x)ex2x.则g(x)ex2,故当0xln 2时,g(x)0,g(x)在0,ln 2)单调递减;当ln 20,g(x)在(ln 2,1单调递增;所以g(x)ming(ln 2)22ln 20,故f(x)在0,1单调递增,所以f(x)maxf(1)e1.(3)当xR时,yf(x)与ybx1有两个交点题型 函数极值和最值的综合问题1已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m1,1,则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax,因为函数f(x)在x2处取得极值,所以f(2)124a0,a3,所以f(x)3x
9、26x.当m1,1时,f(m)m33m24,f(m)3m26m,令f(m)0得m0或m2(舍去),当m(1,0)时,f(m)0,f(m)单调递增,所以f(m)minf(0)4.2(2018银川一中模拟)已知函数f(x)ln xax2(a2)x.(1)若f(x)在x1处取得极值,求a的值;(2)求函数yf(x)在a2,a上的最大值解(1)f(x)ln xax2(a2)x,函数的定义域为(0,)f(x)2ax(a2).f(x)在x1处取得极值,即f(1)(21)(a1)0,a1.当a1时,在内f(x)0,x1是函数yf(x)的极小值点a1.(2)a2a,0a0,f(x)在上单调递增;在上单调递减,
10、当0a时,f(x)在a2,a单调递增,f(x)maxf(a)ln aa3a22a;当即a时,f(x)在单调递增,在单调递减,f(x)maxfln 21ln 2;当a2,即a1时,f(x)在a2,a单调递减,f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2.综上所述,当0a时,函数yf(x)在a2,a上的最大值是ln aa3a22a;当a时,函数yf(x)在a2,a上的最大值是1ln 2;当a1时,函数yf(x)在a2,a上的最大值是2ln aa5a32a2.解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小(2)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与
11、端点值进行比较才能确定最值(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.1已知函数f(x)cosxaln x在x处取得极值,则函数f(x)在区间上的最小值为()Af(1) Bf Cf D不存在答案C解析f(x)cosxaln x,f(x)sinx,f(x)在x处取得极值,f0,解得a,所以f(x)cosxln x,f(x)sinx,因为f0,f(x)在上为减函数,所以在x上,f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为e3
12、,求f(x)在区间5,)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc,因为ex0,所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0,所以当3x0,即f(x)0,当x0时,g(x)0,即f(x)5f(0),所以函数f(x)在区间5,)上的最大值是5e5. 易错防范解答函数极值、最值问题时的两个失分点(1)忽视分类讨论,考虑问题不全面导致丢分(2)忽视比较大小,导致最值点判断出错例如,f(x)在(1,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,则f(x)在1,4上的最小值为f(1)与f(4)中较小的值,此时通常要比较大小典例已知函数f(
13、x)ln xax2bx(其中a,b为常数且a0)在x1处取得极值若f(x)在(0,e上的最大值为1,求a的值解因为f(x)ln xax2bx,所以f(x)2axb.因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值,所以f(1)12ab0,即b2a1.所以f(x)ln xax2(2a1)x,f(x),令f(x)0,得x11,x2.因为f(x)在x1处取得极值,所以1,即a.(1)当a0,即0,即x20时,若0,则f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,e上单调递增,所以f(x)的最大值可能在x或xe处取得,而fln a2(2a1)ln 10,所以f(e)ln eae2(2a1)e1,解得a.若1e,即a,则f(x)在(0,1)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最大值可能在x1或xe处取得而f(1)ln 1a(2a1)0,所以f(e)ln eae2(2a1)e1,解得a,与1e矛盾若e,则f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减,所以f(x)的最大值在x1处取得,而f(1)ln 1a(2a1)0,不成立综上所述,a或a2.