1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb 附近的左侧f(x)0，右侧f(x)2时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值当a0恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(
2、x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.角度3根据极值求参数3.(2018北京高考)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)2ax(4a1)exax2(4a1)x4a3exax2(2a1)x2ex，f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0，所以a的值为1.(2)解法一：由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(
3、x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.解法二：当a0时，令f(x)0，得x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：当x2时，f(x)取得极大值，不符合题意当a0时，若，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：当x2时，f(x)取得极小值，符合题意若2，即a，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)无极值，不符合题意若2，即0a，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：当x2时，f(x)取得极大值，不符合题意综上所述，a.1.熟记运用导数解决函
4、数极值问题的一般流程2已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.1函数f(x)x25x2ex的极值点所在的区间为()A(0,1) B(1,0)C(1,2) D(2，1)答案A解析f(x)2x52ex为增函数，f(0)30，f(x)2x52ex的零点在区间(0,1)上，f(x)x25x2ex的极值点在区间(0,1)上2若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为()A.B.C.D.答案D解析若函数f(x)x32cx
5、2x有极值点，则f(x)3x24cx10有根，故(4c)2120，从而c或c.故实数c的取值范围为.3函数f(x)的极小值为_答案解析f(x).令f(x)0，得x1.令f(x)0，得2x1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为1，则a_，b_.答案1解析因为f(x)3x23ax3x(xa)，令f(x)0，解得x0或xa.因为a1，所以当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：由题意得b1.则f(1)，f(1)2，f(1)0，所以函数f(x)在1，e上单调递增，则f(x)maxf(e)1me；b当e，即00，所以函数f(x)在1，e上单调递增，则f(x)maxf(e)1me；c当1e，即m
6、1时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则f(x)maxfln m1；d当01，即m1时，由x1，e，得f(x)0，所以函数f(x)在1，e上单调递减，则f(x)maxf(1)m.综上，当m时，f(x)max1me；当m1时，f(x)maxln m1；当m1时，f(x)maxm.条件探究把举例说明2中函数f(x)改为f(x)xln xa(x1)，其中aR，求f(x)在区间1，e上的最小值解f(x)xln xa(x1)，则f(x)ln x1a，由f(x)0，得xea1.所以在区间(0，ea1)上，f(x)为减函数，在区间(ea1，)上，f(x)为增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，
7、f(x)为增函数，所以f(x)的最小值为f(1)0.当1ea1e，即1a2时，f(x)的最小值为f(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，f(x)为减函数，所以f(x)的最小值为f(e)aeae.综上，当a1时，f(x)的最小值为0；当1a0，解得x1，令f(x)0，解得x1.2(2018北京石景山区模拟)已知f(x)exax2，曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为ybx1.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在0,1上的最大值；(3)当xR时，判断yf(x)与ybx1交点的个数(只需写出结论，不要求证明)解(1)f(x)exax2的导数为f(x)ex2ax，由已知可
8、得f(1)e2ab，f(1)eab1，解得a1，be2.(2)令g(x)f(x)ex2x.则g(x)ex2，故当0xln 2时，g(x)0，g(x)在0，ln 2)单调递减；当ln 20，g(x)在(ln 2,1单调递增；所以g(x)ming(ln 2)22ln 20，故f(x)在0,1单调递增，所以f(x)maxf(1)e1.(3)当xR时，yf(x)与ybx1有两个交点题型 函数极值和最值的综合问题1已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax，因为函数f(x)在x2处取得极值，所以f(2)124a0，a3，所以f(x)3x
9、26x.当m1,1时，f(m)m33m24，f(m)3m26m，令f(m)0得m0或m2(舍去)，当m(1,0)时，f(m)0，f(m)单调递增，所以f(m)minf(0)4.2(2018银川一中模拟)已知函数f(x)ln xax2(a2)x.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)求函数yf(x)在a2，a上的最大值解(1)f(x)ln xax2(a2)x，函数的定义域为(0，)f(x)2ax(a2).f(x)在x1处取得极值，即f(1)(21)(a1)0，a1.当a1时，在内f(x)0，x1是函数yf(x)的极小值点a1.(2)a2a，0a0，f(x)在上单调递增；在上单调递减，
10、当0a时，f(x)在a2，a单调递增，f(x)maxf(a)ln aa3a22a；当即a时，f(x)在单调递增，在单调递减，f(x)maxfln 21ln 2；当a2，即a1时，f(x)在a2，a单调递减，f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2.综上所述，当0a时，函数yf(x)在a2，a上的最大值是ln aa3a22a；当a时，函数yf(x)在a2，a上的最大值是1ln 2；当a1时，函数yf(x)在a2，a上的最大值是2ln aa5a32a2.解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与
11、端点值进行比较才能确定最值(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.1已知函数f(x)cosxaln x在x处取得极值，则函数f(x)在区间上的最小值为()Af(1) Bf Cf D不存在答案C解析f(x)cosxaln x，f(x)sinx，f(x)在x处取得极值，f0，解得a，所以f(x)cosxln x，f(x)sinx，因为f0，f(x)在上为减函数，所以在x上，f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3
12、，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5. 易错防范解答函数极值、最值问题时的两个失分点(1)忽视分类讨论，考虑问题不全面导致丢分(2)忽视比较大小，导致最值点判断出错例如，f(x)在(1,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减，则f(x)在1,4上的最小值为f(1)与f(4)中较小的值，此时通常要比较大小典例已知函数f(
13、x)ln xax2bx(其中a，b为常数且a0)在x1处取得极值若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解因为f(x)ln xax2bx，所以f(x)2axb.因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值，所以f(1)12ab0，即b2a1.所以f(x)ln xax2(2a1)x，f(x)，令f(x)0，得x11，x2.因为f(x)在x1处取得极值，所以1，即a.(1)当a0，即0，即x20时，若0，则f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，e上单调递增，所以f(x)的最大值可能在x或xe处取得，而fln a2(2a1)ln 10，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a.若1e，即a，则f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最大值可能在x1或xe处取得而f(1)ln 1a(2a1)0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，与1e矛盾若e，则f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以f(x)的最大值在x1处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，不成立综上所述，a或a2.