1、图11例1 如图11所示,O为ABC的外心,H为垂心,求证:.证明:如图11,作直径BD,连接DA,DC,有=,且DAAB,DCBC,AHBC,CHAB,故CHDAHDC,得四边形AHCD是平行四边形.从而=.又= 得即.2.证明线线平行例2 如图12,在梯形ABCD中,E,F分别为腰AB,CD的中点.求证:EFBC,且|=(|+|).图12证明:连接ED,EC,ADBC,可设=(0),又E,F是中点,+=0,且=(+).而+=+=+=(1+),=,EF与BC无公共点,EFBC.又0,|=(|+|)=(|+|). 3.证明线线垂直图13例3 如图13,在ABC中,由A与B分别向对边BC与CA作
2、垂线AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证:CHAB.证明:由已知AHBC,BHAC,有又故有(+)=0,且=0,两式相减,得=0,即=0,.4.证明线共点或点共线图14例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的.已知:ABC的三边中点分别为D,E,F(如图14).求证:AE,BF,CD共点,且.证明:设AE,BF相交于点G,=1,由定比分点的向量式有=,又F是AC的中点,设,则,即=.又=(CA+2CE)=(+)=,C,G,D共线,且=.二、备用习题1.有一边长为1的正方形ABCD,设=a,=b,=c,则|a-b+c|=_.2.已知|a|=2,|b|=,a与b的
3、夹角为45,则使b-a与a垂直的=_.3.在等边ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,则ab+bc+ca=_.4.已知三个向量=(k, 12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,则k=_.图155.如图15所示,已知矩形ABCD,AC是对角线,E是AC的中点,过点E作MN交AD于点M,交BC于点N,试运用向量知识证明AM=CN.6.已知四边形ABCD满足|2+|2=|2+|2,M为对角线AC的中点.求证:|=|.7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.参考答案:1.2 2.2 3.- 4.-2或11图165.建立如图16所示的直角坐标系,设
4、BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E().又设M(x2,b),N(x1,0),则=(x2,0),=(x1-a,0).,(=0.x2=a-x1.|= 而|=|=|,即AM=CN.6.设=a,=b,=c,=d,a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).a2+b2+2ab=c2+d2+2cd. |2+|2=|2+|2,a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2. 由得ab=cd.图17M是AC的中点,如图17所示,则=(d-c),=(b-a).|2=2=(b2+a2-2ab),|2=2=(d2+c2-2cd).|2=|2 |=|.7.解:已知OAOA,OBOB.求证:AOB=AOB或AOB+AOB=.证明:OAOA,OBOB,=(R,0),=(R,0). cosAOB=.cosAOB=,当与,与均同向或反向时,取正号,即cosAOB=cosAOB.AOB,AOB(0,),AOB=AOB.当与,与只有一个反向时,取负号,即cosAOB=-cosAOB=cos(-AOB).AOB,-AOB(0,),AOB=-AOB.AOB+AOB=.命题成立.
