1、2016-2017学年广东省东莞市南城区南开实验学校高二（上）开学数学试卷一、选择题1计算sin43cos13sin13cos43的值等于（）ABCD2一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A12，24，15，9B9，12，12，7C8，15，12，5D8，16，10，63已知向量，满足=0，|=1，|=2，则|2|=（）A0BC4D84ABC中，已知（a+b+c）（b+ca）=bc，则A的度数等于（）A120B
2、60C150D305如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A720B360C240D1206已知|=|=2，与的夹角为60，则+在上的正射影的为（）A3B2C1D07若，是第三象限的角，则=（）ABC2D28在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A92，2B92，2.8C93，2D93，2.89下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）ABCD10在ABC中，sinAsinBcosAcosB，则这个三角形的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等
3、腰三角形11为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度12已知向量，满足|=，|=1，且对任意实数x，不等式|+x|+|恒成立，设与的夹角为，则tan2=（）ABCD二、填空题13tan80+tan40tan80tan40的值等于14已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足APB90，则P点出现的概率为15如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP=，则矩形ABCD的面积最大是16在ABC中，内角A，B，C
4、所对的边分别为a，b，c，其中A=120，b=1，且ABC的面积为，则 =三、解答题17（12分）（1）已知cos（+x）=，（x），求的值（2）若，是夹角60的两个单位向量，求=2+与=3+2的夹角18（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）（其中0，xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设，0，f（5+）=，f（5）=，求cos（+）的值19（12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组160，165）；第八组190，195，如图是按上述分组方法得
5、到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同（I）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|xy|5的事件概率20（12分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2ac）cosB=bcosC（）求角B的大小；（）若cosA=，a=2，求ABC的面积21（12分）已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且x，（1）求及|+|；（2）求函数f（x）=+|+|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值22（10分）在ABC中，角A，B，C所对的
6、边分别为a，b，c，设向量=（a，），=（cosC，c2b），且（）求角A的大小；（）若a=1，求ABC的周长l的取值范围2016-2017学年广东省东莞市南城区南开实验学校高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1计算sin43cos13sin13cos43的值等于（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和差的正弦公式求得要求式子的值【解答】解：sin43cos13sin13cos43=sin（4313）=sin30=，故选：A【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于基础题2一个单位有职工800人，期中具有高级
7、职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A12，24，15，9B9，12，12，7C8，15，12，5D8，16，10，6【考点】分层抽样方法【分析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数【解答】解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，故选D【点评】本题主要考查分层抽样方法3已知向量，满足=0，|=1，|=2，则|2|=（）A0BC4D8【考点】向量的模【专题】计算题【分析】利用题中条件，把所求|
8、2|平方再开方即可【解答】解：=0，|=1，|=2，|2|=2故选B【点评】本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题4ABC中，已知（a+b+c）（b+ca）=bc，则A的度数等于（）A120B60C150D30【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由条件可得 b2+c2a2=bc，再由余弦定理可得 cosA=，以及 0A180，可得A的值【解答】解：ABC中，已知（a+b+c）（b+ca）=bc，b2+c2a2=bc再由余弦定理可得 cosA=，又 0A180，可得A=120，故选A【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，是一个中档题目5如果执行如图的程序框图，若输入n
9、=6，m=4，那么输出的p等于（）A720B360C240D120【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的k，的值，当有k=4，=360时不满足条件km，输出p的值为360【解答】解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，=1第一次执行循环体，=3满足条件km，第2次执行循环体，有k=2，=12满足条件km，第3次执行循环体，有k=3，=60满足条件km，第4次执行循环体，有k=4，=360不满足条件km，输出p的值为360故选：B【点评】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题6已知|=|=2，与的夹角为60，则+在上的正射影的为（）A3B2C1D0【考点
10、】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由题意可得，+与的夹角为30，|+|=2，根据+在上的正射影的为|+|cos30，计算求得结果【解答】解：已知|=|=2，与的夹角为60，+与的夹角为30，|+|=2，则+在上的正射影的为|+|cos30=2=3，故选：A【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求一个向量在另一个向量上的投影，属于基础题7若，是第三象限的角，则=（）ABC2D2【考点】半角的三角函数；弦切互化【专题】计算题【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同【解答】解：由，是第三象限的角，可得，
11、则，应选A【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力8在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A92，2B92，2.8C93，2D93，2.8【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【专题】概率与统计【分析】平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=（x1）2+（x2）2+（x3）2+（xn）2即可求得【解答】解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+
12、3）=92；方差为（222+122+22）=2.8，故选B【点评】本题考查平均数与方差的求法，属基础题9下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性【专题】分析法【分析】先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案【解答】解：C、D中函数周期为2，所以错误当时，函数为减函数而函数为增函数，故选A【点评】本题主要考查三角函数的基本性质周期性、单调性属基础题三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键10在ABC中，sinAsinBcosAcosB，则这个三角形的
13、形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形【考点】三角形的形状判断；两角和与差的余弦函数【专题】计算题【分析】对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出A+B的范围，即可判断三角形的形状【解答】解：因为在ABC中，sinAsinBcosAcosB，所以cos（A+B）0，所以A+B（0，），C，所以三角形是钝角三角形故选B【点评】本题考查三角形的形状的判定，两角和的余弦函数的应用，注意角的范围是解题的关键11为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asi
14、n（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x）到y=cos2x的路线，确定选项【解答】解：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度故选B【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意变换顺序12已知向量，满足|=，|=1，且对任意实数x，不等式|+x|+|恒成立，设与的夹角为，则tan2=（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用【分析】由题意，当（）时，对
15、于任意实数x，不等式|+x|+|恒成立，此时tan=，由此能求出tan2【解答】解：由平面向量加法的几何意义，只有当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|+|恒成立，如图所示，设或，斜边大于直角边恒成立，则不等式|+x|+|恒成立，向量，满足|=，|=1，tan=2，tan2=故选：D另：将不等式|+x|+|两边平方得到不等式|+x|2|+|2，展开整理得得，恒成立，所以判别式，解得cos=，sin=，所以tan=2，tan2=；故选D【点评】本题考查tan2的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和数形结合思想的合理运用二、填空题13（2014春牟定县校级期末）tan80+tan40
16、tan80tan40的值等于【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】根据和角的正切公式，可得tan120=tan（80+40）=，作变形，化简即可得结论【解答】解：根据和角的正切公式，可得tan120=tan（80+40）=所以tan40+tan80=（1tan40tan80）所以tan80+tan40tan80tan40=故答案为：【点评】本题的考点是两角和与差的正切函数，考查和角公式的变形，解题的关键是正确运用和角的正切公式14（2016秋东莞市校级月考）已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足APB90，则P点出现的概率为【考点】几何概型【专题】计算题
17、；概率与统计【分析】在矩形ABCD内以AB为直径作半圆，如图所示由直径所对的圆周角为直角，可得当点P位于半圆内部满足APB90因此，算出半圆的面积和矩形ABCD的面积，利用几何概型公式加以计算，即可得到P点出现的概率【解答】解：在矩形ABCD内，以AB为直径作半圆，如图所示P点在半圆上时，APB=90，当点P位于半圆内部满足APB90矩形ABCD中，AB=5，BC=7，矩形ABCD的面积S=ABBC=35又半圆的面积S=（）2=，点P出现的概率为P=故答案为：【点评】本题给出矩形ABCD，求矩形内部一点P满足APB90的概率着重考查了半圆、矩形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题15
18、（2016秋东莞市校级月考）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP=，则矩形ABCD的面积最大是【考点】扇形面积公式【专题】应用题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值【解答】解：如图，在RtOBC中，OB=cos，BC=sin，在RtOAD中，=tan60=，所以OA=DA=BC=sin所以AB=OBOA=cossin设矩形ABCD的面积为S，则S=ABBC=（cossin）sin=sincossin2=sin2+cos2=
19、（sin2+cos2）=sin（2+）由于0，所以当2+=，即=时，S最大=因此，当=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为故答案为：【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题16（2016淮北一模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120，b=1，且ABC的面积为，则 =2【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】先利用面积公式，求出边a=4，再利用正弦定理求解比值【解答】解：由题意，=c1sin120c=4，a2=b2+c22bccosA=1+1
20、6214（）=21a=2故答案为：2【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解三、解答题17（12分）（2016秋东莞市校级月考）（1）已知cos（+x）=，（x），求的值（2）若，是夹角60的两个单位向量，求=2+与=3+2的夹角【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（x+）的值，可得tan（x+）的值，求出正弦函数与余弦函数值，即可求表达式的值（2）利用向量的数量积公式以及向量的模的运
21、算法则化简求解即可【解答】解：（1）x，x+（，2），再结合cos（+x）=0，可得sin（x+）=，tan（x+）=由（cossin）=，（sin+cos）=，解得sin=，cos=，tan=9=（2），是夹角60的两个单位向量，=2+与=3+2，可得cos=2+与=3+2的夹角为：120【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，向量的数量积的应用，属于中档题18（12分）（2012广东）已知函数f（x）=2cos（x+）（其中0，xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设，0，f（5+）=，f（5）=，求cos（+）的值【考点】两角和与差的余弦函数；由y=A
22、sin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式=解出参数的值；（2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出与两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（+）的值【解答】解：（1）由题意，函数（其中0，xR）的最小正周期为10所以=，即所以（2）因为，分别代入得及【点评】本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题19（12分）（2015秋辽源校级期末）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生
23、身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组160，165）；第八组190，195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同（I）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|xy|5的事件概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（1）由直方图求出前五组的频率，进一步得到后三组的频率，然后求出后三组的人数和，再由第八组的频率求出第八组的人
24、数，设出第六组的人数m，求出m的值，则第六组、第七组的频率可求；（2）分别求出身高在180，185）内和在190，195）的人数，标号后利用列举法写出从中随机抽取两名男生的所有情况，查出满足|xy|5的事件个数，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）：由直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）5=0.82，后三组频率为10.82=0.18，人数为0.1850=9（人），由直方图得第八组频率为：0.0085=0.04，人数为0.0450=2（人），设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又m+m1+2=9，所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数
25、为3人，频率分别为0.08，0.06，频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图，（2）由（1）知身高在180，185内的人数为4人，设为a，b，c，d身高在190，195的人数为2人，设为A，B若x，y180，185时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况若x，y190，195时，有AB共一种情况若x，y分别在180，185，190，195内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况所以基本事件的总数为6+8+1=15种，事件|xy|5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故满足|xy|5的事件概率p=【点评】本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率
26、计算公式，考查了学生的读图能力，是基础题20（12分）（2012石景山区一模）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2ac）cosB=bcosC（）求角B的大小；（）若cosA=，a=2，求ABC的面积【考点】正弦定理的应用【专题】计算题【分析】（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理可得 又0B，从而得到角B的大小（）由正弦定理，求得b的值，再由求出sinC的值，根据ABC的面积运算求得结果【解答】解：（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinAsinC）cosB=sinBcosC （2分）2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
27、=sin（B+C）=sinA（4分）0A，sinA0， 又0B， （6分）（）由正弦定理，得，（8分）由 可得，由，可得，（11分） （13分）【点评】本题主要考查正弦定理，诱导公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题21（12分）（2012春亳州期末）已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且x，（1）求及|+|；（2）求函数f（x）=+|+|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值【考点】平面向量数量积的运算【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）利用数量积的坐标运算、两角和差的余弦公式可得=cos2x，由=1可得|+|=（2）由（1）可得：函数f（x）
28、=+|+|=cos2x2cosx=，利用二次函数、余弦函数的单调性即可得出【解答】解：（1）=coscossinsin=cos2x，=1|+|=2|cosx|，x，cosx02cosx（2）由（1）可得：函数f（x）=+|+|=cos2x2cosx=2cos2x2cosx1=，当x=，cosx=1时，f（x）取得最大值3【点评】本题考查了数量积的坐标运算、两角和差的余弦公式、二次函数、余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题22（10分）（2014黄冈模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（a，），=（cosC，c2b），且（）求角A的大小；（）若a=1，求ABC
29、的周长l的取值范围【考点】解三角形；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】（）利用向量的垂直，推出数量积为0，通过三角形内角和以及两角和的正弦函数，确定角A的大小；（）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表达式，通过三角形的内角和以及两角和的正弦函数化简表达式，根据角的范围，确定三角函数的范围，然后求ABC的周长l的取值范围【解答】解：（）由题意可知：，即acosC+=b，得sinAcosC+sinC=sinB又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC，sinC0，cosA=又0AA=（）由正弦定理得：b=，l=a+b+c=1+=1+=1+2（）=1+2sin（B+）A=B，B+，sin（B+）故ABC的周长l的范围为（2，3【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦函数，向量的数量积等知识的应用，考查计算能力
