1、2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标(重点)2掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别(重点)3灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系(难点)1通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的核心素养 2借助两直线位置关系的应用，培养数学运算的核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们靠着一根根巨
2、大的柱子支撑，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？那么两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？知识点 1 两条直线相交、平行与重合(1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在 y 轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：l1 与 l2 相交_；l1l2_；l1 与 l2 重合_ k1k2k1k2 且 b1b2k1k2 且 b1b2(2)向量方法判断 设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，因为 v1(A1，B1)是直线 l1 的一
3、个法向量，v2(A2，B2)是直线 l2的一个法向量 l1 与 l2 相交(即只有一个交点)的充要条件是 v1 与 v2 不共线，即_ A1B2A2B1l1 与 l2 平 行 或 重 合 的 充 要 条 件 是 v1 与 v2 共 线，即_；l1 与 l2 重合的充要条件是，存在实数 使得A1A2，B1B2，C1C2.A1B2A2B1直线AxByC10与直线AxByC20平行的充要条件是什么？重合呢？提示 平行的充要条件是 C1C2，重合的充要条件为 C1C2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行()(2)若 l1l2，则 k1k2()(3)若两直
4、线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确 2已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 lAB，则直线 l 的斜率为()A3 B3 C13 D13 B 因为 klkAB30323，所以 l 的斜率为 3 知识点 2 两条直线的垂直 对应关系l1 与 l2 的斜率都存在，分别为 k1，k2，则 l1l2_l1 与 l2 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则 l1 与 l2 的位置关系是
5、_ 图示 k1k21l1l2设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20因为v1(A1，B1)是直线 l1 的一个法向量，v2(A2，B2)是直线 l2 的一个法向量，l1 与 l2 垂直的充要条件是 v1 与 v2 垂直，即 v1v20，因此 A1A2B1B20即 l1l2A1A2B1B20 3直线 l1 与 l2 的斜率是一元二次方程 2 019x22 020 x20190 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系为_ 垂直 由题意知一元二次方程 2 019x22 020 x2 0190 的两根 x1x21，直线 l1，l2 的斜率之积 k1k21，直线 l1l2合作探究释疑难
6、 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 两条直线相交、平行、重合的判定【例 1】已知两直线 l1：xmy60；l2：(m2)x3y2m0，当 m 为何值时，直线 l1 与 l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合 解 直线 l1：xmy60，直线 l2：(m2)x3y2m0，A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m(1)若 l1 与 l2 相交，则 A1B2A2B10，即 13m(m2)0，即 m22m30，即(m3)(m1)0，即 m3，且 m1 故当 m3，且 m1 时，直线 l1 与 l2 相交(2)若 l1l2，则有A1B2A2B10，B1C2B2C10，即3mm20，2
7、m2180，即m22m30，m29，即m3或m1，m3且m3，m1 故当 m1 时，直线 l1 与 l2 平行(3)若 l1 与 l2 重合，则有A1B2A2B10，B1C2B2C10，即3mm20，2m2180，m3或m1，m3或m3，m3 故当 m3 时，直线 l1 与 l2 重合 根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.跟进训练 1l1：9xya20；l2：ax(a2)y10求当 a 为何值时，直线 l1 与 l
8、2：(1)相交；(2)平行；(3)重合 解 由题意：A19，B11，C1a2，A2a，B2a2，C21(1)若 l1 与 l2 相交，则 A1B2A2B10，即 9(a2)a(1)0，a95 故当 a95时，直线 l1 与 l2 相交(2)若 l1l2，则有A1B2A2B10，B1C2B2C10，即9a2a10，1a240，a95，a 3.当 a95时，l1 与 l2 平行(3)若 l1 与 l2 重合，则有A1B2A2B10，B1C2B2C10，由(2)知a95，a 3，不成立，直线 l1 与 l2 不重合 综上所述：当 a95时，两直线相交，当 a95时，两直线平行，不论 a 为何值两直线
9、不会重合 类型 2 两条直线垂直的判定【例 2】(1)(对接教材人教 B 版 P90 例 3)l1 经过点 A(3，2)，B(3，1)，l2 经过点 M(1，1)，N(2，1)，判断 l1 与 l2 是否垂直；(2)已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a2，3)，直线 l2 经过点 C(2，3)，D(1，a2)，若 l1l2，求 a 的值 解(1)直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率为 0，所以 l1l2(2)由题意知，l2 的斜率 k2 一定存在，l1 的斜率可能不存在 当 l1 的斜率不存在时，3a2，即 a5，此时 k20，则 l1l2，满足题意 当 l1 的斜率 k1 存
10、在时，a5，由斜率公式，得 k1 3aa233aa5，k2a2312 a53 由 l1l2，知 k1k21，即3aa5a53 1，解得 a0 综上所述，a 的值为 0 或 5 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况 跟进训练 2分别判断下列两直线是否垂直(1)直线 l1 的斜率为10，直线 l2 经过点 A(10，2)，B(20，3)；(2)直线 l1 经过 A(3，4)，B(3，7)，直线 l2 经过点 P(2，4)，Q(2，4)；(3)直线 l1 的斜率为13，直线 l2 与直线 2x3y10 平行 解(1
11、)直线 l1 的斜率为 k110，直线 l2 的斜率为 k2 322010 110，k1k210 1101所以直线 l1 与 l2 垂直(2)直线 l1 的斜率不存在，故 l1 与 x 轴垂直，直线 l2 的斜率为 0，故直线 l2 与 x 轴平行，所以 l1 与 l2 垂直(3)直线 l1 的斜率为 k113，直线 l2 的斜率为 k223，k1k2291，所以直线 l1 与 l2 不垂直 类型 3 直线平行与垂直的综合应用 【例 3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O(0，0)，P(1，t)，Q(12t，2t)，R(2t，2)，其中 t0试判断
12、四边形 OPQR 的形状已知ABC 的三个顶点坐标 A(5，1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断ABC 的形状吗？提示 如图，AB 边所在直线的斜率 kAB12，BC 边所在直线的斜率 kBC2由 kABkBC1，得 ABBC，即ABC90ABC 是以点 B 为直角顶点的直角三角形 解 由斜率公式得 kOPt010t，kQR22t2t12tt1t，kOR 202t01t，kPQ 2tt12t1 22t1t 所以 kOPkQR，kORkPQ，从而OPQR，ORPQ 所以四边形 OPQR 为平行四边形 又 kOPkOR1，所以 OPOR，故四边形 OPQR 为矩形 将本例中的四个点，改为“A
13、(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)，顺次连接 A，B，C，D 四点，试判断四边形 ABCD 的形状”解 由题意 A，B，C，D 四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得 kAB532413，kCD 033613，kAD03343，kBC356212 所以 kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 ABCD，由kADkBC，所以 AD 与 BC 不平行 又因为 kABkAD13(3)1，所以 ABAD，故四边形 ABCD 为直角梯形 判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标(2)证明两直线
14、平行时，仅仅有 k1k2 是不够的，还要注意排除两直线重合的情况(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况 跟进训练 3若已知直角三角形 ABC 的顶点分别为 A(5，1)，B(1，1)，C(2，m)，求 m 的值 解(1)若 A 为直角，则 ACAB，所以 kACkAB1，即m12511151，得 m7；(2)若 B 为直角，则 ABBC，所以 kABkBC1，即1115m1211，得 m3；(3)若 C 为直角，则 ACBC，所以 kACkBC1，即m125m1211，得 m2 综上可知，m7 或 m3 或 m2当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1直线 xa
15、y70 与直线(a1)x2y140 平行，则 a 的值是()A1 B2 C1 或2 D1 或 2 B 由已知，得 a(a1)20，解得 a2 或 a1当 a1 时，两直线重合，a2 1 3 5 2 4 2如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，则l2的斜率为()A 33B 33 C 3D 3 C k1tan 30 33，又 l1l2，k1k21，k2 3 1 3 5 2 4 3已知过点 A(2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2xy10 平行，则 m 的值为()A8 B0 C2 D10 A 由已知，得4mm22，m8 1 3 5 2 4 4已知直线 l 的倾斜角为 45，直线 l2 的斜
16、率为 km23，若l1l2，则 m 的值为_ 2 由题意知 m23tan 45，解得 m2 1 3 5 2 4 5经过点 P(2，1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为 45的直线垂直，则 a_ 6 由题意知a1321，所以 a6 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何判断两直线平行？提示 在判断两直线是否平行时，先看两直线的斜率是否存在，再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况 设两条斜率存在且不重合的直线 l1，l2 的倾斜角分别为 1，2，则对应关系如下：前提12901290 对应关系l1l2斜截式：k1k2；一般式：A1B2A2B10l1l2两直线斜率都不存在 前提12901290 图
17、示 2如何判断两直线垂直？提示 对应关系l1 与 l2 的斜率都存在，分别为 k1，k2，且 l1l2斜截式：k1k21；一般式：A1A2B1B20l1 与 l2 中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，则 l1l2 图示 3如何利用两直线的位置关系求直线方程？提示(1)平行直线系方程 斜率为 k 的直线系方程为 ykxb(k 为常数，b 为参数)；与定直线 AxByC0(A2B20)平行的直线系方程为 AxBy0(为参数，C)；过点 P(x0，y0)，且平行于直线 AxByC0(A2B20)的直线方程为 A(xx0)B(yy0)0(Ax0By0C0)(2)垂直直线系方程 与直线 ykxb
18、(k0)垂直的直线系方程为 y1kxm(m 为参数)；与定直线 AxByC0(A2B20)垂直的直线系方程为 BxAy0(为参数)；过点 P(x0，y0)，且垂直于直线 AxByC0(A2B20)的直线方程为 B(xx0)A(yy0)0(3)过两条直线交点(定点)的直线系方程 设两条不平行的直线的方程分别为 l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2 不同时为 0)，我们将 m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0(其中 m，n 为参数，且 m2n20)称为经过直线 l1 与 l2 交点(定点)的直线系方程当 m1，n0 时，此方程即直线 l1 的方程；当 m0，n1 时，此方程即直线 l2 的方程 过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，此时该直线系不含直线 l2 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
