1、第七节 离散型随机变量及其分布列 1.随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果_的变量，常用字母X,Y,，表 示.(2)离散型随机变量：所有取值可以_的随机变量.变化而变化 一一列出 2.离散型随机变量的分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量X的_，简称为X的分布列，有 时也用等式_表示X的分布列.(2)性质：_；_.概率分布列 P(X=xi)=pi,i=1,2,n pi0(i=1,2,n)nii
2、1p13.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 其中p=_称为成功概率.X 0 1 P 1-p p P(X=1)(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事 件X=k发生的概率为P(X=k)=_,k=0,1,2,m,其中m=_,且nN,MN,n,M,NN*,如果随机变量X的分布列 具有下表形式 则称随机变量X服从超几何分布.kn kMN MnNC CCminM,n X 0 1 m P _ _ _ 0n 0MN MnNC CC1n 1MN MnNC CCmn mMN MnNC CC判断下面结论是否正确(请在括号中打“”
3、或“”).(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)有些离散型随机变量的分布列可以使用公式表示.()(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(5)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.()X 2 5 P 0.3 0.7【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列，是所有离散型随机变量的概率分布情况，因此该说法是正确的.(2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但分布列不能.(3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概率之和为1.(4)
4、正确.因为如果离散型随机变量的各个可能值表示的事件彼此不互斥，则它们的概率之和将大于1，所以该说法是正确的.(5)错误.因为两点分布中随机变量的取值分别为0,1.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1.将一颗骰子掷两次，随机变量为()(A)第一次出现的点数 (B)第二次出现的点数(C)两次出现点数之和 (D)两次出现相同点的种数【解析】选C.A,B中出现的点数虽然是随机的，但它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果.D中出现相同点数的种数就是6种，不是变量.C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，但每掷一次前，无
5、法预见是11种中的哪一个，故是随机变量，选C.2.设随机变量X等可能取值1,2,3，n，若P(X4)0.3，则()(A)n3 (B)n4 (C)n9 (D)n10【解析】选D.P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)n10.11130.3nnnn ，3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()(A)4 (B)5 (C)6 (D)5【解析】选C.由条件知“放回5个红球”事件对应的为6.4.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于()(A)1 (B)(C)(D)X 1 0 1 P
6、 0.5 12q q2 212212212【解析】选C.由分布列的性质得：2211 2q0,q2q0,2q 1.0.5 1 2qq12，2q 1.2 5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是_.【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一道题并回答错误，乙抢到两道题并且都回答错误，此时甲得1分，故X的所有可能取值为1,0,1,2,3.答案：1,0,1,2,3 考向 1 离散型随机变量分布列的性质【典例1】(
7、1)设随机变量X的概率分布如表所示：F(x)P(Xx)，则当x的取值范围是1,2)时，F(x)()X 0 1 2 P a 1316 1115A B C D3626(2)已知随机变量 的分布列为 求=的分布列.【思路点拨】(1)由概率分布的性质，可求出a的值，然后求出F(x)的值.(2)根据与的对应关系求出的值及相应概率.-2 -1 0 1 2 3 P 11214131121611212【规范解答】(1)选D.x1,2)，F(x)P(Xx)(2)由题意得，111a1a.362 ，115.236 -2-1 0 1 2 3 -1 0 1 121232所以的分布列为【互动探究】在本例题(2)中条件不变
8、，求=2的分布列.【解析】=2对于的不同取值-2，2及-1，1，分别取相同的值4与1，即取4这个值的概率应是取-2与2值的概率的和，取1这个值的概率也是取-1与1值的概率的和，故的分布列为 0 1 4 9 P 131314112【拓展提升】1.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.2.随机变量组合的分布列问题(1)随机变量的线性组合=a+b(a,bR)是随机变量.(2)求=a+b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.【提醒】求分布列中参数的值时应保证每个概率
9、值均为非负数.【变式备选】已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)6.3，则a的值为().(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析】选C.由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3,a7.X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 考向 2 离散型随机变量的分布列【典例2】(1)某射手射击所得环数X的分布列为：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()(A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22(2)(2013温州十校联考
10、)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记(x13)2(x23)2.分别求出 取得最大值和最小值时的概率；求 的分布列.【思路点拨】(1)首先弄清“射击一次命中环数大于7”所包含的事件，然后依据概率分布求解.(2)首先弄清随机变量的所有可能取值，然后求出的分布列.【规范解答】(1)选C.P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.(2)掷出点数x可能是1,2,3,4，则x3分别得：2，1,0,1.于是(x3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此的所有取值 为：0,1,2,4,5,8.当x
11、11且x21时，(x13)2(x23)2可取得最大值8，P(8)当x13且x23时，(x13)2(x23)2可取得最小值0，P(0)1114416；111.4416 由知的所有取值为：0,1,2,4,5,8.P(0)P(8)当1时，(x1，x2)的所有取值为(2,3)，(4,3)，(3,2)，(3,4).即P(1)当2时，(x1，x2)的所有取值为(2,2)，(4,4)，(4,2)，(2,4).即P(2)116；41164；41164；当4时，(x1，x2)的所有取值为(1,3)，(3,1).即P(4)当5时，(x1，x2)的所有取值为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1).即P(5)
12、所以的分布列为：21168；41.164 0 1 2 4 5 8 P 11614141814116【拓展提升】1.分布列的表示方法 分布列有三种表示形式，即表格、等式和图象.在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率.2.求随机变量的分布列的三个步骤(1)找：找出随机变量的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定=xi的意义.(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量取每一个值的概率P(=xi)=pi(i=1,2,n).(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.【变式训练】盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任
13、取2个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，请填写以下 的分布列.2 3 4 P【解析】“2”表示用完放回后盒中只有2个旧球，所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出，“3”表明原来2个旧球只取1个，“4”表明原来2个旧球1个也不取.的分布列为：2228C1P2.C28 116228C C3P3.C7 2628C15P4.C28 2 3 4 P 128371528考向 3 超几何分布的概率问题【典例3】(1)(2013天水模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_.(2)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得
14、次品数为 的分布列.【思路点拨】(1)先找出随机变量的所有可能取值，再求概率，求概率时注意判断其概率模型.(2)先弄清随机变量的取值，再判断随机变量服从什么分布.【规范解答】(1)设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N6，M2，n3，则 P(X1)P(X0)P(X1)答案:031224243366C CC C4.CC545(2)本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解.设随机变量表示取出次品的件数，则服从超几何分布，其中N15，M2，n3.可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为 所以的分布列为 0312213213331515C CC C2212P0P1C35C35，2121
15、3315C C1P2.C35 0 1 2 P 22351235135【拓展提升】1.超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题.(2)随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的应用 超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型.【变式训练】某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括 x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中 学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被选派的机会是相同 的.(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为 试求出n与x 的值.(2)记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列.3
16、5，【解析】(1)从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗 实习教师的总结果数为 2位学生中恰有1位女学生 的结果数为 依题意可得 化简得n211n300，解 得n15，n26.当n5时，x532；当n6时，x633，故所求的值为 2nn n 1C2，11n33CCn33.11n332nn33CC3n n 1C52，n5,n6,x2x3.或(2)当 时，X可能的取值为0,1,2.X0表示只选派2位男 生，这时 X1表示选派1位男生与1位女生，这时 X2表示选派2位女生，这时 n5,x2022325C C3P X0C10，112325C C3P X 1C5 ，2225C1P X2.C10 X
17、的分布列为：当 时，X可能的取值为0,1,2.X0表示只选派2位男生，这时 X 0 1 2 P 31035110n6,x3203326C C1P X0C5 ，X1表示选派1位男生与1位女生，这时 X2表示选派2位女生，这时 X的分布列为：113326C C3P X 1C5 ，203326C C1P X2.C5 X 0 1 2 P 153515【满分指导】离散型随机变量分布列的规范解答【典例】(13分)(2012大纲版全国卷改编)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球
18、方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为12的概率.(2)表示开始第4次发球时乙的得分，求 的分布列.【思路点拨】已知条件 条件分析 比赛规则 双方各发两次球，胜得1分，发球方胜的概率为0.6.属于独立事件的概率求解问题 开始第4次发球时，甲、乙的比分为12 包含两种情况：第一种：第1次和第2次两次发球，甲共得1分，第3次发球时甲未得分 第二种：第1次和第2次两次发球，甲共 得0分，第3次发球时甲得1分 表示开始第4次发球时乙的得分 可能的取值为0，1，2，3【规范解答】记Ai表示事件：第1次和第2次两次发球，甲
19、共得i分，i=0，1，2.A表示事件：第3次发球，甲得1分 B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为12.(1)B=A0A+A1 2分 P(A)=0.4，P(A0)=0.42=0.16，P(A1)=20.60.4=0.48.4分 =0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.6分 A，01P BP(A AA A)0101P(A A)P(A A)P(A)P AP(A)P(A)(2)P(A2)=0.62=0.36.可能的取值为0,1,2,3.7分 P(=0)=P(A2A)=P(A2)P(A)=0.360.4=0.144.P(=2)=P(B)=0.352,=P(A0)P()=0.160.
20、6=0.096.9分 0P(3)P(A A)AP(=1)=1-P(=0)-P(=2)-P(=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.11分 的分布列为 13分 0 1 2 3 P 0.144 0.408 0.352 0.096【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013泰安模拟)若P(x2)1，P(x1)1，其中x1x2，则P(x1 x2)等于()(A)(1)(1)(B)1()(C)1(1)(D)1(1)【解析】选B.由分布列性质可有：P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1)11().2.(2013天津模拟)若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为()(A)1
21、(B)0.8 (C)0.3 (D)0.2【解析】选D.由离散型随机变量的分布列的性质知0.2+0.3+0.3+a=1,a=0.2,验证符合概率的范围,故选D.X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.3 a 3.(2013成都模拟)一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为 二，两次分裂为四，如此继续分裂有限次，而随机终止.设分 裂n次终止的概率是 (n=1,2,3，),记X为原物体在分裂终 止后所生成的子块数目，则P(X10)=()(A)(B)(C)(D)以上均不对 n12785838【解析】选A.依题意分裂n次终止的概率是 (n=1,2,3，),原物体在分裂终止后所生成的子块数目X的分布列为：
22、P(X)=(n=1,2,3,),P(X10)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=8)=故选A.n12n121117.24884.(2013泉州模拟)口袋中有n(nN*)个白球，3个红球，依 次从口袋中任取1个球，如果取到红球，那么继续取球，且取 出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数 为X.若P(X2)求：(1)n的值.(2)X的分布列.730，【解析】(1)由P(X2)90n7(n2)(n3).n7或 (舍)，故n=7.113n11n3n2CC7730CC30知，6n7(2)由题意知X可取1,2,3,4，X的分布列为 1711011371110911132711110981
23、1113217111110987C7P X1C10C C7P X2C C30C C C7P X3C C C120C C C C1P X4.C C C C120，X 1 2 3 4 P 710730712011201.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：则x,y分别为_.【解析】由于0.200.100.x50.100.1y0.201，得0.x50.1y0.40，于是x,y分别为2,5.答案:2,5 X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 2.某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著三国演义、水浒传、西游记、红楼梦与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得-1分，某观众只知道三国演义的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作.(1)求该观众得分 为负数的概率.(2)求 的分布列.【解析】(1)当该观众只连对三国演义，其他全部连错时，得分为负数，此时=-1，故得分为负数的概率为 3321P1.A3 (2)的可能取值为-1，2，8.的分布列为：333331P2,A211P8.A6 -1 2 8 P 131216
