1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情分析核心素养1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.判断直线与圆的位置关系，判断圆与圆的位置关系，求弦长是2021年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，可能出现解答题，分值为512分.1.数学运算2.直观想象知识梳理1直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drdrdr)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d，R，r的关系dRrdRrRrdRr
2、dRrd0)，其中a，b是定值，r是参数(2)过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)(3)过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半
3、径之和，则两圆相交()(4)圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有2条()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修2P132A5改编)直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_答案：3(必修2P133A9改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_答案：2三、易错自纠4(2019届惠州调研)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切D相离解析：选B由题意知，两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，又15，所以两圆相交5直线4x3y0与圆(x1)2(y3)21
4、0相交所得的弦长为()A6B3C6D3解析：选A设直线4x3y0与圆(x1)2(y3)210相交所得的弦为AB圆的半径r，圆心到直线的距离d1，弦长|AB|22236.故选A6已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，则直线l的方程是_解析：由已知条件知圆心为(1，2)，半径r5，弦长m8.设弦心距是d，则由勾股定理得r2d2，即25d216，解得d3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x4，圆心到直线的距离是3，符合题意若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y3k(x4)，即kxy4k30，则d3，即9k26k19k29，解得k，则直线l的方程为4x3y2
5、50.所以直线l的方程是x40或4x3y250.答案：x40或4x3y250|题组突破|1(2019届西安模拟)直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定解析：选B由(a1)x(a1)y2a0(aR)整理得xya(xy2)0，则由解得x1，y1，即直线(a1)x(a1)y2a0(aR)过定点(1，1)又(1)2(1)22(1)2(1)750)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离解析：选B由题知圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，
6、所以22，解得a2，所以圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，半径之和为3，19，点Q在圆M外部当过点Q的直线的斜率不存在时，直线的方程为x4，即x40.又知点M(1，2)到直线x40的距离d413r，直线x40符合题意当过点Q的直线的斜率存在时，设直线方程为y3k(x4)，即kxy4k30，则圆心M到直线的距离d3，即|13k|3，解得k，切线方程为xy430，即4x3y250.综上可知，过点Q的圆M的切线方程为x4或4x3y250.|QM|，过点Q的圆M的切线长为1.名师点津1求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切
7、线方程为yy0；若k0，则结合图形可直接写出切线方程为xx0；若k存在且k0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出提醒当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况|跟踪训练|1已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在
8、x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求|PM|的最小值解：(1)将圆C的方程化为标准方程得(x1)2(y2)22，即C(1，2)，半径为.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx(k0)，由直线与圆相切得，解得k2，所以切线方程为y(2)x或y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由直线与圆相切得，解得a1或a5，所以切线方程为xy10或xy50.综上，所求的切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10或xy50.(2)由|PM|PO|得(x11)2(y12)
9、22xy，即2x14y130，即点P在直线l：2x4y30上，所以|PM|min|PO|min.【例2】已知H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.(1)求H的方程；(2)若存在过点P(a，0)的直线与H相交于M，N两点，且|PM|MN|，求实数a的取值范围解(1)设H的方程为(xm)2(yn)2r2(r0)，因为H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两直线xy10，xy30的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m2，n1.又H截x轴所得线段的长为2，所以r21n22，所以H的方程为(x2)2(y1)22.(2)设N(x0，
10、y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在H上，所以(x02)2(y01)22，2，即(x0a4)2(y02)28.若记I为(xa4)2(y2)28，由知H与I有公共点，从而2|HI|2，即3，整理可得2a24a518，解得2a1或3a2，所以实数a的取值范围是2，13，2 名师点津有关弦长问题的2种求法几何法直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2d2代数法联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2| |跟踪训练|2(2019届河北石家庄质检)已知aR且为常数，圆C：x2
11、2xy22ay0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点当ACB最小时，直线l的方程为2xy0，则a的值为()A2B3C4D5解析：选B将圆的方程化为标准方程，得(x1)2(ya)21a2，圆心为C(1，a)，当弦AB最短时，ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2xy0垂直，所以21，解得a3.3(2019届安徽合肥调研)已知直线l：xy50与圆C：(x2)2(y1)2r2(r0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r()AB2C2D4解析：选B解法一：由题意知圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d，又弦长为2，所以22，所以r2，故选B解法二：联立得整理得2x2
12、12x20r20，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x2，所以|AB|x1x2|2，解得r2.【例】(2019届河南信阳二模)若直线ykx1(k0)与圆x2(y1)21相交于A，B两点，C点坐标为(3，0)，若点M(a，b)满足0，则ab等于()A1BCD解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)圆x2(y1)21的圆心为N(0，1)，又知直线ykx1(k0)恒过定点(0，1)，即圆心N，所以x1x20，y1y22.因为0，所以点M为ABC的重心，所以所以ab，故选C答案C名师点津直线与圆的位置关系多与平面向量、不等式、概率等交汇应用考查，着重考查数学运算能力|跟踪训练|直线xyt0与圆x2y22相交于M，N两点，已知O是坐标原点，若|，则实数t的取值范围是_解析：将|两边平方，得0，所以圆心到直线的距离d1，解得t，故实数t的取值范围是， 答案：，
