1、3.3.1 导数与函数的单调性 本课时要求学生理解函数单调性与导数的关系,会求函数的单调区间,而这种关系的基本思想是数形结合。由于学生刚刚接触导数的应用,所以他们在利用导数研究函数的单调性、求单调区间的水平上都还有一定的差距。学生已有的基础是基本初等函数的图像和性质,之前又学习了导数的概念、计算、几何意义等内容。所以,在知识储备方面,学生已经具备足够的认知基础,因此要充分利用这些基础,本节课的教学思路是由“形”到“数”,再由“数”到“形”的数形结合思想。综上,本节课的教学重点是:利用导数判断函数的单调性,会求函数的单调区间;教学难点是:探索函数单调性与导数的关系.问题1函数单调性的定义是什么?
2、一般地,在给定区间上任取两个自变量21,xx,当21xx 时,若)()(21xfxf,则 f(x)在这个区间上单调递增.若)()(21xfxf,则 f(x)在这个区间上单调递减.问题2导数的定义与几何意义是什么.00()()()=limlimxxyf xxf xfxxx 几何意义:函数 y=f(x)在点 x0处的导数 f(x0),就是曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率.用定义法判断函数单调性的步骤:(1)在给定区间内任取x1x2;(2)作差f(x1)-f(x2);(3)变形;(4)判断符号;(5)下结论。如何确定函数32()233616f xxxx在哪个区间上 单调递增,
3、哪个区间上单调递减?用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,是否有更为简捷的方法呢?如何确定函数32()233616f xxxx在哪个区间上 单调递增,哪个区间上单调递减?问题1函数单调性的定义是什么?一般地,在给定区间上任取两个自变量21,xx,当21xx 时,若)()(21xfxf,则 f(x)在这个区间上单调递增.若)()(21xfxf,则 f(x)在这个区间上单调递减.问题2导数的定义与几何意义是什么.00()()()=limlimxxyf xxf xfxxx 几何意义:函数 y=f(x)在点 x0处的导数 f(x0),就是曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜
4、率.用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,是否有更为简捷的方法呢?于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢?下面我们就研究单调性与导数有什么关系?如何确定函数32()233616f xxxx在哪个区间上 单调递增,哪个区间上单调递减?(1)自主探究,大胆猜想 分析下列函数的单调性与其导数正负的关系并完成下表:xyy=1xOxyy=xOxyy=2xOxyy=(12)xO342xxy 观察函数 的图像,分析函数单调性与其 导数正负的关系(2)追踪成果,深入探究 问题 1:我们回到单调性定义,以增函数为例,观察12xx,12()()f xf x的正负符号,如何用数学式子表示?同号,可以用
5、0)()(2121xxxfxf表示.问题2:还可以用其他方法表示吗?0)()(2121xxxfxf问题3:结合上一章的变化率,观察这个式子和变化率有什么联系呢?平均变化率0 xy,就是区间内任取两点的平均变化率大于零,也就是割线斜率大于 0.(3)深入思考,揭示本质 问题4:既然是“任取”,那么我们干脆把两个点无限靠近,大家觉得可以得到什么.瞬时变化率,就是某点切线的斜率,也就是区间内任意一点处的导数都大于零.1212()()0()0()f xf xfxf xxx为增函数(3)深入思考,揭示本质 几何画板演示 1.函数单调性与其导数正负的关系:()(,)f xa b设函数在定义域内的某个区间上
6、可导,fx()0f xa b()(,)在内单调递增fx()0f xa b()(,)在内单调递减 ,函数 为常函数.()f x()f x如果在某个区间内恒有,则 是什么函数?()0fx 例 1、证明:函数 f(x)ln xx 在区间(0,e)上单调递增证明 f(x)ln xx,f(x)x1xln xx21ln xx2.又 0 xe,ln x0,故 f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数思路点拨 利用函数单调性与导数间的关系进行判断例 2、求函数32()233616f xxxx的单调区间.思路点拨:先求函数定义域 求导 令()0fx,得函数增区间;令()0fx,得函数减区间 写出结论例 2、求函
7、数32()233616f xxxx的单调区间.解:由导数公式表和求导法则可得 2()66366(2)(3)fxxxxx 当(,2)(3,)xx 或时,()0fx,因此,在这两个区间上,函数是增加的;当(2 3)x ,时,()0fx,因此,在这个区间上,函数是减少的.所以,函数32()233616f xxxx的递增区间为(,2)(3,)和,递减区间为(2 3),练习:求下列函数的单调区间.(1)()ln(2)()1xf xxxf xex2.利用导数求函数单调区间的一般过程:先求函数f(x)的定义域求出导数 f (x)解不等式f (x)0得函数单调递增区间解不等式f (x)0得函数单调递减区间规范
8、写出单调区间判断 f (x)的正负函数单调性决定了函数图像的大致形状,如何根据导数信息来画函数的简图呢?2()0;23()0;3()032()0.xfxxfxxfxxxfx当时,当时,当时,;当或时,例3、已知函数f(x)的导函数f (x)满足下列信息:试画出函数f(x)图像的大致形状.yOxA变式练习1:已知函数f(x)的导函数的图像如下图所示,那么函数f(x)的图像最有可能的是()(xf变式练习 2:函数()yf x在定义域3(,3)2内的图像如图所示 记()yf x的导函数为()yfx,则()0fx 的解集为()A ,12,3)B1,C ,1,2)D(,1 ,3)A问题1:函数的单调性与其导函数正负有什么关系?问题2:我们在探究函数单调性与导数的关系时,用了哪些思想方法?问题3:怎样利用导数求函数的单调区间,需要注意什么?必做:求下列函数的单调区间(1)()lnf xxx(2)1()f xxx选做:求函数1)(23mxxxf的单调减区间.思考:如果函数3()=f xaxx在 R 上是增函数,则a 的取值范围是多少?