1、第二章 平面向量22 平面向量的线性运算22.1 向量加法运算及其几何意义内 容 标 准学 科 素 养1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.应用直观想象应用数学抽象发展逻辑推理应用数学建模01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 向量加法的定义及其运算法则阅读教材 P8081，思考并完成以下问题分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上
2、海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是 F13 000 N，F22 000 N，牵引绳之间的夹角为 60(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果(1)从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？提示：后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形 OACB 的对角线OC 表示的力是OA 与OB 表示的力的合力体现了向量的加法运算(2)上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？提示：三角形法则和平行四边形法则知识梳理(1)向量加法的定义求_的运算，叫做向量
3、的加法两个向量的和(2)向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作ABa，BCb，则向量_叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即 abABBC_.这种求向量和的方法，称为向量加法的_法则.对于零向量与任一向量 a 的和有 a0_ACAC三角形0aa向量求和的法则平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB，则以 O 为起点的对角线_就是 a 与 b 的和把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的_法则OC平行四边形向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义知识点二 向量加法的运算律思考并完成以下问题实数加
4、法有哪些运算律？向量的加法有哪些运算律？(1)根据图中的平行四边形 ABCD，向量AC 从 ABC 与 ADC 有什么关系？提示：AC AB BC，AC AD DC.(2)根据图中的四边形 ABCD，向量AD abc，可用哪些三角形得到？提示：AD(AB BC)CD 或AD AB(BC CD)知识梳理 向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)思考 已知非零向量 a、b、c 满足 abc0，表示 a、b、c 的有向线段能否构成三角形？提示：当 ab 时不能构成三角形，当 a、b、c 不共线时，可构成三角形自我检测1化简AE EB BC 等于()A.AB B.BA C0 D.AC答
5、案：D2正方形 ABCD 的边长为 1，则|AB AD|为()A1 B.2C3 D2 2答案：B探究一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则阅读教材 P81 例 1方法步骤：(1)取点，(2)平移向量，(3)求和作图例 1(1)如图所示，求作向量和 ab；(2)如图所示，求作向量和 abc.解析(1)首先作向量OA a，然后作向量AB b，则向量OB ab.如图所示，(2)法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA a，再作向量AB b，则得向量OB ab，然后作向量BC c，则向量OC(ab)cabc 即为所求法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O
6、，作向量OA a，OBb，OC c，以 OA，OB 为邻边作OADB，连接 OD，则OD OA OB ab.再以 OD，OC 为邻边作ODEC，连接 OE，则OE OD OC abc 即为所求方法技巧 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半延伸探究 1.把本例改为：如图(1)(2)，已知
7、向量 a，b，c，求作向量 ab 和 abc.解析：(1)在平面内任意取一点 O，作OA a，AB b，则OB ab.(2)在平面内任意取一点 O，作OA a，AB b，BC c，则OC abc.探究二 向量加法运算律的应用教材 P91A 组第 4 题(1)AB BC CA 0例 2 化简或计算：(1)CD BC AB _；(2)AB DF CD BC FA_解析(1)CD BC AB(AB BC)CD AC CD AD.(2)AB DF CD BC FA(AB BC)(CD DF)FAAC CF FAAF FA0.答案(1)AD (2)0方法技巧(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再
8、运用向量的结合律调整向量顺序后相加(2)向量求和的多边形法则：A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An.特别地，当 An和 A1 重合时，A1A2 A2A3 A3A4 An1A10.延伸探究 2.将本例(1)改为在正方形 ABCD 中，边长为 1，则|CD BC AB|_解析：由于CD BC AB AD.|CD BC AB|AD|1.答案：13将本例(2)改为：设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD 等于()A.OM B2OMC3 OMD4 OM解析：依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的
9、中点，所以OA OC 2 OM，OB OD 2 OM，所以OA OC OB OD 4 OM.答案：D探究三 向量加法的实际应用教材 P83 例 2方法步骤：(1)画出图形；(2)用向量表示实际问题；(3)求解三角形例 3 在静水中船的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解析 作出图形，如图船速 v 船与岸的方向成 角，由图可知 v 水v 船v 实际，结合已知条件，四边形 ABCD 为平行四边形，在 RtACD 中，|CD|AB|v 水|10 m/min，|AD|v 船|20 m/min，cos|CD|AD|1020
10、12，60，从而船与水流方向成 120的角故船行进的方向是与水流的方向成 120的角的方向方法技巧 应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题延伸探究 4.若例 3 条件不变，则经过 3 小时，该船的实际航程是多少 km?解析：由例 3 解析图可知|AC|32|AD|32 2010 3(m/min)3 35(km/h)，则经过 3 小时，该船的实际航程是 33 35 9 35(km)5若例 3
11、 的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角)解析：如图所示，|AD|BC|v 船|20 m/min，|AB|v 水|10 m/min，则 tanBAC2，即为所求课后小结1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则2当 a 与 b 共线时(1)ab 且 a 与 b 同向，则 ab 的方向与 a(或 b)同向，且|ab|a|b|.(2)ab 且 a 与 b 且 a 与 b 反向，则 ab 的方向与|a|，|b|中较大的向量方向相同，且|ab|a|b
12、|.3已知 n 个向量，把这 n 个向量首尾顺次相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则当首尾顺次相连的若干个向量构成封闭的向量链(封闭图形)时，各向量的和就是 0.如图，在 n 边形 A1A2An，有A1A2 A2A3 An1AnA1An，则A1A2 A2A3 An1AnAnA1 0.4向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行5结论：|a|b|ab|a|b|.当 a，b 不共线时，|a|b|ab|a|b|(三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)素养培优1求向量模的长典例 已知|AB|5，|AC|3，|CB|4，M 为线段 AB 的中点，求|CM|.解析 AB AC CB，A、B、C 三点构成三角形如图，|AB|2|AC|2|CB|2，C90.M 为 AB 的中点，|CM|12|AB|52.2求模的最值或范围典例 已知 a，b，c 的模分别为 1，2，3，则|abc|的最大值为_解析|abc|a|b|c|1236，|abc|的最大值为 6.答案 6课时 跟踪训练
