1、高 二 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试时间120分钟共150分 第卷（选择题 共60分）注意事项： 每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，则下列关系式一定成立的是 A. B. C. D.2.命题“任意向量”的否定为 A.任意向量 B.存在向量 C.任意向量 D.存在向量 3.已知直线和平面满足.给出下列命题：；，其中正确命题的序号是 A. B. C. D.4.设，则“”是“直线与平行
2、”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知等差数列前项和为，若，则 A. B. C. D.6.右图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米则水位上涨米后，水面宽为A.米 B.2米 C.米 D.米7.已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为.过点的直线交椭圆于两点，则的周长为A. B. C. D.8.关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为A. B. C. D.9. 设为正实数，若直线与圆相切，则的最小值为 A. B. C. D.10.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为A. B. C. D.11.已知分别是双曲线的左、
3、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于点，若，直线与圆相切，则双曲线的焦距为A. B. C. D. 12.已知函数若对任意存在使，则实数的最大值为 A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第卷答题纸的指定位置在试题卷上答题无效二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是 .14.已知条件，条件向量，的夹角为锐角.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 15.已知正三棱柱的底面边长和侧棱长相等，为的中点，则直线 与所成的角为 .16.毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着
4、等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去,共得到个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）记为数列的前项和，已知，.（）求数列的通项公式；（）求使不等式成立的正整数的最小值.CBANM18.（本小题满分12分）已知三棱台，平面，底面为直角三角形，点，分别为，的中点.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知是公差为的等差数列，数列满足，.（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和.ABCPDE20.（本小题满分12分）
5、已知四棱锥，底面为等腰梯形，平面，且，点为中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合.（）求双曲线和抛物线的标准方程；（）过点做互相垂直的直线，设与抛物线的交点为，与抛物线的交点为，求的最小值.22.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点为椭圆上一点，的面积为.（）求椭圆的标准方程；（）设点为椭圆的上顶点，过椭圆内一点的直线交椭圆于两点，若与的面积比为，求实数的取值范围.高二数学答案 2019.01一、选择题（每题5分，共60分）DBDCBCCACBDA二、填空
6、题（每题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 三、解答题:本大题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）解：（）当时，；-1分当时，所以，即， -3分因为，所以数列为等比数列， -4分所以. -5分（）， -7分由，即，化简得， -8分因为函数在单调递增， 所以，正整数的最小值为.-10分18.（本小题满分12分）证明：（）取的中点，连接，点，分别为，的中点， -2分又， -3分，平面平面，-5分平面，平面 .-6分 （）由题意知两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， -7分则 -8分 -9分设平面的法向量为，由，令，解得，所以平面的一个法
7、向量为， -10分因为平面，可得平面的一个法向量为, -11分，所以二面角的余弦值为. -12分19.（本小题满分12分）解：（）当时，解得由已知可得， -2分将代入，整理可得， 所以数列为等比数列， -4分公比，由可得. -6分（）， -7分（1）（2） -8分（1）（2）可得 -9分所以， -11分即. -12分20.（本小题满分12分）OABCPDE证明：（）平面，平面，. -1分为中点，且，所以四边形为平行四边形，-2分，-3分且，所以四边形为菱形，-4分，平面. -5分（）在等腰梯形中，平面，平面，中，又平面，.-7分平面，为中点， 两两垂直， -8分以为原点，分别以为轴建立空间直角
8、坐标系，-9分则， ， -10分设为平面的法向量，则有，令，得， -11分设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为. -12分 21.（本小题满分12分）解：（）由题意可得，即， 所以双曲线方程为， -1分将点代入双曲线方程，可得， 所以双曲线的标准方程为， -3分，所以，所以抛物线的方程为. -4分（）由题意知，与坐标轴不平行，设直线的方程为， -5分，整理可得,恒成立，, -7分因为直线互相垂直，可设直线的方程为,同理可得， -9分 . -11分当且仅当时取等号，所以的最小值为. -12分 22.（本小题满分12分）解：（）设，由题意可得， -2分，所以， -3分，所求椭圆的标准方程为. -4分（）因为与的面积比为，所以 -5分由题意知，直线的斜率必存在，设为，设直线的方程为，则有,-6分联立，整理得，由得， ， ，由可求得 ， -8分可得， -9分整理得， -10分由，可得， -11分解得或. -12分
