1、学案6向心加速度学习目标定位 1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题一、对圆周运动的认识1圆周运动的速度方向不断变化，一定是变速运动，必定有加速度2实例分析(1)地球受太阳的引力方向指向地球轨迹圆的圆心；地球加速度的方向也指向圆心(2)光滑桌面上的小球由于细线的牵引绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受重力、支持力、拉力的作用，合力指向圆心，加速度的方向指向圆心二、向心加速度1定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度2大小：an2r.3方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心.一、向心加速度的方向
2、问题设计如图1甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动分析地球和小球的运动，并回答以下问题： 甲乙图1(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？(2)分析地球受到什么力的作用？这个力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？(3)根据牛顿第二定律，分析地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？答案(1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径
3、指向圆心小球受到重力、支持力、绳的拉力作用，合力等于绳的拉力，方向沿半径指向圆心(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是沿半径指向圆心加速度的方向时刻指向圆心，所以方向不断变化匀速圆周运动是一种变加速曲线运动要点提炼1向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变2向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响3圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动二、向心加速度的大小问题设计1阅读教材“做一做：探究向心加速度大小的表达式”，
4、了解向心加速度的推导过程答案物体从A点经时间t沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为，如图所示，因为vA与OA垂直，vB与OB垂直，且vAvB，OAOB，所以OAB与vA、vB、v组成的矢量三角形相似用v表示vA和vB的大小，用l表示弦AB的长度，则有或vl用t除上式得当t趋近于零时，表示向心加速度an的大小，此时弧AB对应的圆心角很小，弧长和弦长相等，所以lr，代入上式可得an2r，又由vr可得 an.2请利用、v、T的关系推导向心加速度与或T的关系答案由an和vr可得an2r由an2r和可得an()2r由an()2r和n可得an(2n)2r要点提炼1向心加速度公式(1)基本公式：an，an2
5、r(2)拓展公式：anr，anv.2向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化的快慢3向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心延伸思考甲同学认为由公式an知向心加速度an与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式an2r知向心加速度an与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点答案他们两人的观点都不正确当v一定时，an与r成反比；当一定时，an与r成正比(an与r的关系图象如图所示)一、对向心加速度的理解例1下列关于向心加速度的说法中正确的是()A向心加速度的方向始终指向圆心B向心加速度的方向保持不变C在匀速圆周运动中，
6、向心加速度是恒定的D在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化解析向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故B、C、D错误答案A针对训练关于向心加速度，下列说法正确的是()A向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量B向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量C向心加速度时刻指向圆心，方向不变D向心加速度是平均加速度，大小可用a来计算答案B解析加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错、B对虽然向心加速度时刻指向圆心，但是沿不同的半径指向圆心，所以方向不断变化，C错加速度公式a适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬
7、时加速度，D错二、向心加速度大小的计算例2如图2所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2 时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？图2解析同一轮子上的S点和P点角速度相同：SP，由向心加速度公式an2r可得：，则anSanP12 m/s24 m/s2.又因为皮带不打滑，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：vPvQ.由向心加速度公式an可得：.则anQanP12 m/s224 m/s2答案4 m/s224 m/s2例3如图3所示为A、B两物体做匀
8、速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知()图3AA物体运动的线速度大小不变BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小不变DB物体运动的角速度与半径成正比解析因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a可知，A物体的线速度大小不变，故A对，B错；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a2r可知，B物体的角速度大小不变，故C对，D错答案AC1(对向心加速度的理解)关于向心加速度，下列说法正确的是()A向心加速度是描述线速度变化的物理量B向心加速度既改变线速度的方向，又改变线速度的大小C向心加速度大小恒定，方向时刻改变D物体做非匀速圆周运动时，向
9、心加速度的大小也可用an来计算答案D解析加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A、B错；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错，D对2(对向心加速度的理解)如图4所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是()图4A向心加速度的大小aPaQaRB任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同C线速度vPvQvRD任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同答案C解析圆环各处的角速度相等由a2r知aPaQaR，故A错误；由vr知vPvQvR，故C正确由于向心加速度总是指向圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直
10、于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于半径，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误3(向心加速度公式的应用)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是()A它们的方向都是沿半径指向地心B它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴C北京的向心加速度比广州的向心加速度大D北京的向心加速度与广州的向心加速度大小相同答案B解析如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为的P点，做圆周运动的轨道半径RR0cos ，其向心加速度为an2R2R0cos .由于北京的地理
11、纬度比广州的大，cos 小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项C、D错误4(向心加速度大小的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图5所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的1/4圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)图5答案50 m/s2，方向竖直向上0解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a m/s250 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.题组一对向心加速度的理解1下列关于向心
12、加速度的说法中正确的是()A向心加速度越大，物体速率变化得越快B向心加速度的大小与轨道半径成反比C向心加速度的方向始终与线速度方向垂直D在匀速圆周运动中向心加速度是恒量答案C解析向心加速度只改变速度方向，故A不正确向心加速度可用an或an2r表示，不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度的大小与轨道半径的关系，故B错误向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误2做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1a2，下列判断正确的是()A甲的线速度大于乙的线
13、速度B甲的角速度比乙的角速度小C甲的轨道半径比乙的轨道半径小D甲的速度方向比乙的速度方向变化快答案D解析由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D对3下列说法正确的是()A匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度C做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动D匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向
14、发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动答案BD解析加速度恒定的运动才是匀变速运动，向心加速度的方向时刻改变匀速圆周运动是速度的大小不变、而速度的方向时刻变化的运动，所以B、D正确4关于匀速圆周运动，下列说法正确的是()A由an可知，an与r成反比B由an2r可知，an与r成正比C由vr可知，与r成反比D由2n可知，与n成正比答案D解析物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论正确选
15、项为D.题组二向心加速度大小的计算5A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为()A11 B21 C41 D81答案D解析由题意知A、B两小球的角速度之比ABnAnB21，所以两小球的向心加速度之比aAaBRARB81，D正确6一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度大小为an，则()A小球相对于圆心的位移不变B小球的线速度大小为C小球在时间t内通过的路程s D小球做圆周运动的周期T2 答案BD解析小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变由an
16、得v2Ran，所以v小球在时间t内通过的路程svtt小球做圆周运动的周期T2 7如图1所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下列说法中正确的是()图1AA、B两轮转动的方向相同BA与B转动方向相反CA、B转动的角速度之比为13DA、B轮缘上点的向心加速度之比为31答案BC解析A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对A、B两轮边缘的线速度大小相等，由知，C对根据a得，D错8如图2所示，一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度匀速转动，A、B为球体上两点下列说法中正确的是()图2AA、B两点具有相同的角速度BA、B两点具有相同的线速度CA、B
17、两点具有相同的向心加速度DA、B两点的向心加速度方向都指向球心答案A解析A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动，转一周所用的时间相等，故角速度相等，有AB，选项A正确A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直，交点为圆心，故A点做圆周运动的半径为rARsin 60；同理，B点做圆周运动的半径为rBRsin 30，所以A、B两点的线速度分别为：vArAR，vBrBR，显然vAvB，选项B错误A、B两点的向心加速度分别为：aArA2R2，aBrB2R2，显然，A、B两点的向心加速度不相等，且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心，并不指向球心，故选项C、D错误9如图3所示，一小物块以大小为a4 m/s2的
18、向心加速度做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是()图3A小物块运动的角速度为2 rad/sB小物块做圆周运动的周期为 sC小物块在t s内通过的位移大小为 mD小物块在 s内通过的路程为零答案AB解析因为a2R，所以小物块运动的角速度为2 rad/s，周期T s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移为 m，在 s内转过一周，通过的路程为2 m，选项C、D错误题组三综合应用10如图4所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()图4A加速度为零B加速度恒定C加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D加
19、速度大小不变，方向时刻指向圆心答案D解析由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误11一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子如图5所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则()图5A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的向心加速度不变答案AC解析由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由vr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由a知，小球的向心加速度变为
20、原来的两倍，C正确，D错误12如图6所示，一轿车以30 m/s 的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90.求：图6(1)此过程中轿车的位移大小；(2)此过程中轿车通过的路程；(3)轿车运动的向心加速度大小答案(1)85 m(2)94.2 m(3)15 m/s2解析如图所示， v30 m/s，r60 m，90.(1)轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度，即xr60 m85 m.(2)路程等于弧长，即lr60 m94.2 m.(3)向心加速度大小：an m/s215 m/s213如图7所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小图7答案2g解析设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足Rgt2，得t ，这段时间内甲运动了T，即T 又由于a2RR由得，a2g.
