1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 等比数列及其前n项和基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.等比数列的概念，B级要求；2.等比数列的通项公式及前n项和公式，C级要求；3.根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题，B级要求；4.等比数列与指数函数的关系，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：anan1(n2，q 为非零常数)，或an1an q(nN*，q 为非零常数)同一个2公比q基础诊断考点突破课堂总结2.等比数列的通
2、项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1时，Sn a1anq1q.a1qn1a11qn 1q 基础诊断考点突破课堂总结3等比数列及前n项和的性质(1)如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 .(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akal.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为.(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S
3、3nS2n仍成等比数列，其公比为.a，G，bG2abamanqmqn基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.()(3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna1an1a.()(4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8 成等比数列()基础诊断考点突破课堂总结2(苏教版必修5P52例2改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析 设该数列的公比为q，由题意知，2439q3
4、，q327，q3.所以插入的两个数分别为9327,27381.答案 27,81基础诊断考点突破课堂总结3(2014大纲全国卷改编)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6_.解析 由等比数列的性质得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.答案 63基础诊断考点突破课堂总结4已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10_.解析 法一 由题意得a4a7a1q3a1q62，a5a6a1q4a1q5a21q98，q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.基础诊断考点突破课堂总结法二 由a4a72，a5a6a4a78，解得a
5、42，a74或a44，a72.q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.答案 7基础诊断考点突破课堂总结5(2014广东卷)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.答案 5解析 由等比数列的性质知 a1a5a2a4a234a32，所以log2a1 log2a2 log2a3log2a4log2a5 log2(a1a2a3a4a5)log2a535log225.基础诊断考点突破课堂总结考点一 等比数列中基本量的求解【例 1】(1)在 等 比 数 列 an 中，a4 2，a7 16，则 an _.(2)(201
6、4江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，a21，a8a62a4，则a6的值是_(3)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由a7a4q38，知 q2，所以 ana4qn422n42n3.(2)设公比为 q，因为 a21，则由 a8a62a4 得q6q42q2，q4q220，解得 q22，所以 a6a2q44.基础诊断考点突破课堂总结(3)显然公比 q1，由题意得a1qa1q31，a11q31q7，解得 a14，q12或a19，q13(舍去)，S5a11q51q41 125112314.答案(1)2n3(2)4(3)3
7、14基础诊断考点突破课堂总结规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解基础诊断考点突破课堂总结【训练1】在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和解 设该数列的公比为 q，由已知可得 a1qa12,4a1q3a1a1q2，所以 a1(q1)2，q24q30，解得 q3 或 q1.由于 a1(q1)2，因此 q1 不合题意，应舍去故公比 q3，首项 a11.所以数列的前 n 项和 Sn3n12.基础诊断考点突破课堂总结考点二 等比数列的性
8、质及应用【例2】(1)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10_.(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6_.解析(1)法一 由等比中项的性质得 a3a11a2716，又数列an各项为正，所以 a74.所以 a10a7q332.所以 log2a105.法二 设等比数列的公比为 q，由题意知，an0，则 a3a11a27a10q3 2 126a21024，所以 a210210，解得 a1025.故 log2a105.基础诊断考点突破课堂总结(2)由等比数列的性质得：S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，于是，由已知得 S63S3，S6
9、S3S3S9S6S6S3，即 S9S64S3，S97S3，S9S673.规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用答案(1)5(2)73基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，则xyz的值为_(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由等比中项知 y23
10、，y 3，又y 与1，3 符号相同，y 3，y2xz，所以 xyzy33 3.(2)把 a1a2a3，a2a3a4，a7a8a9 各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第 1 项、第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项因为数列an的各项均为正数，所以 a4a5a6 a1a2a3a7a8a9 5105 2.答案(1)3 3(2)5 2基础诊断考点突破课堂总结考点三 等比数列的判定与证明【例3】已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公
11、式深度思考 若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列an1基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 anSnn，an1Sn1n1.得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an11an1 12，an1是等比数列又 a1a11，a112，首项 c1a11，c112，公比 q12.又 cnan1，cn是以12为首项，以12为公比的等比数列基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可知 cn12 12n112n，ancn1112n.当 n2 时，bnanan1112n112n1 12n112n12n.又 b1a112代入上式也符合，bn1
12、2n.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明 anan1q(n2，q 为常数)；二是等比中项法，证明 a2nan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列bn中的 b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54 是等比数列基础诊断考点突破课堂总结(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，ad，依题意，得 adaad15，解得 a5.所以
13、bn中的 b3，b4，b5 依次为 7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得 d2 或 d13(舍去)故bn的第 3 项为 5，公比为 2，由 b3b122，即 5b122，解得 b154.所以bn是以54为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn542n152n3.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 数列bn的前 n 项和 Sn5412n12 52n254，即 Sn5452n2.所以 S15452，Sn154Sn5452n152n22.因此Sn54是以52为首项，2 为公比的等比数列基础诊断考点突破课堂总结思想方法1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|
14、，a2n，1an也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.基础诊断考点突破课堂总结2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n的初始值不同(2)等比中项法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列基础诊断考点突破课堂总结易错防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.
