1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 第二章 直线和圆的方程 学 习 任 务核 心 素 养 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系(难点)3.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题(难点)通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.情境导学探新知 NO.1知识点 在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示 我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足
2、它们的方程即可那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？知识点 直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系及判断位置关系相交相切相离 公共点个数个个个 判定方法几何法：设圆心到直线的距离d|AaBbC|A2B2drdrdr 两一零位置关系相交相切相离 判定方法代数法：由AxByC0，xa2yb2r2消元得到一元二次方程，计算方程的判别式 000 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于
3、“数”，它倾向于“坐标”与“方程”直线3x4y5与圆x2y216的位置关系是()A相交 B相切 C相离D相切或相交 A 圆心到直线的距离d5324210时，即m0或m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当0时，即m0或m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当0时，即43m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离 d|2m1m1|1m2|m2|1m2.(1)当d0或m2时，即43m0，则相交；若有两组相同的实数解，即0，则相切；若无实数解，即
4、0，则相离(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离跟进训练1(1)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能(2)设m0，则直线l：2(xy)1m0与圆O：x2y2m的位置关系为()A相切B相交C相切或相离D相交或相切(1)A(2)C(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32024391231，所以点A在圆外，故切线有两条 若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k134k|
5、k211，即|k4|k21，所以k28k16k21，解得k158.所以切线方程为158 xy152 30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.(2)解 根据题意，圆M：x2y24x10，即(x2)2y25，其圆心M(2,0)，直线l：axby30与圆M：x2y24x10相切于点P(1,2)，则P在直线l上且MP与直线l垂直 kMP20122，则有ab12，则有b2a，又由P在直线l上，则有a2b30，可解得a1，b2，则直线l的方程为x2y30.若本例(1)中的条
6、件不变，如何求其切线长？解 设圆心C(3,1)，则|AC|432312 17，则切线长d 17214.圆的切线方程的求法(1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为1k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点在圆外时 几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程 代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解跟进训练2(1
7、)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)的切线方程为()A2xy90B2xy90C2xy90D2xy90(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最小值为()A1B2 2C 7D3(1)B(2)C(1)x2y22x4y0的圆心为C(1,2)，kPC12，切线的斜率k2，切线方程为y32(x3)，即2xy90.(2)圆心C(3,0)到yx1的距离d|301|22 2.所以切线长的最小值为l 2 2212 7.类型3 直线与圆相交问题【例3】(1)求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.(2)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，
8、B两点，如果|AB|8，求直线l的方程直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐标再求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？解(1)法一：(求交点坐标)联立直线l与圆C的方程，得3xy60，x2y22y40，解得x11，y13，x22，y20，所以交点为A(1,3)，B(2,0)故直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|122302 10.法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为x2(y1)25，则圆心C(0,1)，半径r 5，圆心C(0,1)到直线l：3xy60的距离d|016|3212 102，则弦长|AB|2 5212 102 10.(2)将圆的方程配方
9、得(x1)2(y2)225，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d 2528223.当直线l的斜率不存在时，x4满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.由点到直线的距离公式，得3|k24k|1k2，解得k 512，所以直线l的方程为5x12y200.综上所述，直线l的方程为x40或5x12y200.求圆的弦长的两个方法圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2d2l22解题 交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长跟进训练3(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_(2)圆
10、心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为22 的圆的方程为_(1)22(2)(x2)2(y1)24(1)设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|232212 2，半弦长为 r2|CA|2 42 2.最短弦的长为2 2.(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离d|211|2 2.又由题意知，半弦长为 2，r2224，得r2.圆的方程为(x2)2(y1)24.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离B 圆心(0,0)到直线yx1的距离
11、d|001|2 22 1，直线与圆x2y21相交，又(0,0)不在yx1上，直线不过圆心2 1 3 4 5 2(多选题)若直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2B12C2D122 1 3 4 5 CD 圆的方程为x2y22x2y10，可化为(x1)2(y1)21，由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为|7b|51，得b2或12.3 1 2 4 5 3过点P(0,1)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A，B两点，若|AB|2，则该直线的斜率为()A1B 2C 3D23 1 2 4 5 A 由题意设直线l的方程为ykx1，因为圆(x1)2(y1)21的圆心为(1,
12、1)，半径为r1，又弦长|AB|2，所以圆心到直线的距离为dr2|AB|22112 22，所以有|k|k21 22，解得k1.4 1 2 3 5 4过点P(2,3)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线方程为_4 1 2 3 5 x2或y3 P(2,3)在圆(x1)2(y2)21外，过点P(2,3)与圆(x1)2(y2)21相切的直线有两条 当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y3k(x2)，即kxy32k0，|k232k|k211，k0，切线方程为y3，当斜率不存在时，切线方程为x2.2 4 5 1 3 5过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为13
13、5，则弦AB的长为_2 4 5 1 3 30 由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d|1|2 22，则有|AB|2 r2d22812 30.回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断直线和圆的位置关系有哪些方法？提示 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.2如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？提示 点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程.点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况.3直线和圆相交时，如何求弦长？提示 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系12l2d2r2解题.利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
