1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 直线、平面垂直的判定与性质基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直任意基础诊断考点突破课堂总结(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直 abO l性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线ab交直线 两
2、条相 平行 lba b la a b 基础诊断考点突破课堂总结2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直直二面角基础诊断考点突破课堂总结(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面 l垂线交线 l l alal基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)若两平面垂
3、直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()基础诊断考点突破课堂总结2.直线a直线b，a平面，则b与的位置关系是_解析 由垂直和平行的有关性质可知b或b.答案 b或b基础诊断考点突破课堂总结3设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件(填“充分不 必要、必 要不充分、充 要、既不充分也不必要”)解析 若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.答案 充分不必要基础诊断
4、考点突破课堂总结4(2014浙江卷改编)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题：若mn，n，则m 若m，则m 若m，n，n，则m 若mn，n，则m其中所有假命题的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析 中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；中，由m，可得m或m与相交或m，错误；中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误答案 基础诊断考点突破课堂总结5(苏教版必修2P42T16改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则 点 O 是 ABC
5、的_心基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心图1 基础诊断考点突破课堂总结(2)如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高同理可求BD，AH为ABC底边上的高，即O为ABC的垂心答案(1)外(2)垂图2 基础诊断考点突破课堂总结考点一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60
6、，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.基础诊断考点突破课堂总结而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(
7、1)证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2014山东卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC12AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点求证：(1)AP平面 BEF；(2)BE平面 PAC.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)设 ACBEO，连接 OF，EC.由于 E 为 AD 的中点，ABBC12A
8、D，ADBC，所以 AEBC，AEABBC，因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点又 F 为 PC 的中点，因此在PAC 中，可得 APOF.又 OF平面 BEF，AP平面 BEF，所以 AP平面 BEF.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.基础诊断考点突破课堂总结考点二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2
9、CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)法一 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，且 EH12AB.又 ABCD，CD12AB，所以 EHCD，且 EHCD.因此四边形 DCEH 是平行四边形所以 CEDH.基础诊断考点突破课堂总结又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD.基础诊断考点突破课堂总结法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF12AB.又 CD12AB，所以 AFCD，又 AFCD，所以四边形
10、AFCD 为平行四边形因此 CFAD.又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.基础诊断考点突破课堂总结因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 ABPA，所以 ABEF.同理可证 ABFG.又 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以
11、MNCD，又 ABCD，所以 MNAB.因此 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2014江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)因为 D，
12、E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，EFBC，且 DE12PA3，EF12BC4.又因为 DF5，故 DF2DE2EF2，所以DEF90，即 DEEF.基础诊断考点突破课堂总结又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.基础诊断考点突破课堂总结考点三 垂直关系中的探索性问题【例3】(2015扬州检测)如图，在三棱台A
13、BCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG 平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 在三棱台 ABCDEF 中，ACDF，AC平面 ACE，DF平面 ACE，DF平面 ACE.又DF平面 DEF，平面 ACE平面 DEFa，DFa.(2)解 线段 BE 上存在点 G，且 BG13BE，使得平面 DFG平面 CDE.证明如下：基础诊断考点突破课堂总结取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G，连接 GD，CFEF，G
14、FCE.在三棱台 ABCDEF 中，ABBCDEEF.由 CF平面 DEFCFDE.又 CFEFF，DE平面 CBEF，DEGF.GFCEGFDECEDEEGF平面 CDE.基础诊断考点突破课堂总结又 GF平面 DFG，平面 DFG平面 CDE.此时，如平面图所示，O 为 CE 的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBC12EF.由HGBFGE 可知BGGE12，即 BG13BE.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图1，
15、在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点，所以 DEBC.又因为 DE平面 A1CB，BC平面 A1CB，所以 DE平面 A1CB.(2)证明 由已知得 ACBC 且 DEBC，所以 DEAC.所以 DEA1D，DECD，又 A1DCDD，所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F.又因为
16、 A1FCD，CDDED，所以 A1F平面 BCDE，且 BE平面 BCDE，所以 A1FBE.基础诊断考点突破课堂总结(3)解 线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.基础诊断考点突破课堂总结由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP，又DEDPD，所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.基础诊断考点突破课堂总结微型专题 立体几何中的翻折问题将平面图形沿其中一条或
17、几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法.基础诊断考点突破课堂总结【例4】如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60.点 E，F分别在边 CD，CB上，点 E与 点 C，D不重合，EFAC于点O.沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEF平面ABFED.(1)求证：BD平面POA；(
18、2)当PB取得最小值时，求四棱锥PBFED的体积基础诊断考点突破课堂总结点拨(1)根据翻折前后直线BD与直线AO的垂直关系不变，可得使用线面垂直判定定理进行证明；(2)先选用一个与PB有关的变量表示PB的长度，使用函数的方法求出在什么情况下PB最小，再求出四棱锥PBDEF的高和底面积，根据锥体体积公式计算即可基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BDAC，所以BDAO.因为EFAC，所以POEF.因为平面PEF平面ABFED，平面PEF平面ABFEDEF，且PO平面PEF，所以PO平面ABFED.因为BD平面ABFED，所以POBD.因为AOPOO，又BDA
19、O，所以BD平面POA.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 设 AOBDH，因为DAB60，所以BDA 为等边三角形，故 BD4，HB2，HA2 3.设 POx，如图 3，连接 OB，PH，则 OH2 3x，OA4 3x.由 OHBD，则 OB2OH2BH2(2 3x)222.基础诊断考点突破课堂总结由(1)知，PO平面 BFED，则 POOB，所以 PB OB2OP2 2 3x222x22x 3210，当 x 3时，PBmin 10，此时 PO 3.所以当 PB 取得最小值时，V 四棱锥 PBFED13S 梯形 BFEDPO1334 42 34 22 33.基础诊断考点突破课堂总结点评 在平面
20、图形的翻折过程中的难点就是空间几何体是动态的，一些线段的长度、直线所成的角等都是变化的根据求解目标的需要选用其中一个主要变化的量建立求解目标的函数关系式，然后通过函数方法求出目标的最值，这是解决折叠问题中最值的一个基本方法本题中影响PB长度的变量可以从不同的方面选取，但解题时要以便于应用为原则.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90.(2)平面几何中证明线线垂直的方法(3)线面垂直的性质：a，bab.(4)线面垂直的性质：a，bab.基础诊断考点突破课堂总结2空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交2面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么
