1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 立体几何中的向量方法()证明平行与垂直基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.非零基础诊断考点突破课堂总结2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向
2、向量分别为1和2，则l1l2(或l1与l2重合)12v12.(2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l存在两个实数x，y，使x1y2.(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l或luu0.(4)设 平 面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1，u2，则u1u2u1u2.基础诊断考点突破课堂总结3用向量证明空间中的垂直关系(1)设 直 线 l1 和 l2 的 方 向 向 量 分 别 为 1 和 2，则l1l212120.(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则luvu.(3)设 平 面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1 和 u2，则u1u2u1u2
3、0.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的(2)平面的单位法向量是唯一确定的(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行(4)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()()()()基础诊断考点突破课堂总结2平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量为(2，4，k)，若，则 k()A2 B4 C4 D2解析，两平面法向量平行，21 42 k2，k4.答案 C基础诊断考点突破课堂总结3已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC法向量的是()A(1,1,1)B(1，1,1)C
4、(33，33，33)D(33，33，33)解析 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则nAB0，nAC0，化简得xy0，xz0，xyz.故选 C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不对解析 n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直故选C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结5已知直线l的方向向量为(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_解析 u0，u，l或l.答案 l或l基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】如图
5、所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.基础诊断考点突破课堂总结证明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)基础诊断考点突破课堂总结法一 EF(0,1,0)，EG(1,2，1)，设平面 EFG 的法向量为 n(x，y，z)，则 nEF0，nEG 0，即y0，x2yz
6、0，令 z1，则 n(1,0,1)为平面 EFG 的一个法向量，PB(2,0，2)，PBn0，nPB，PB面 EFG，PB平面 EFG.基础诊断考点突破课堂总结法二 PB(2,0，2)，FE(0，1,0)，FG(1,1，1)设PBsFEtFG，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，t2，ts0，t2，解得 st2.PB2FE2FG，又FE与FG 不共线，PB，FE与FG 共面PB平面 EFG，PB平面 EFG.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法
7、向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算基础诊断考点突破课堂总结【训练1】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；基础诊断考点突破课堂总结证明 如图，连接OP，PAPC，O是AC的中点，POAC，又面PAC面ABC，PO平面PAC，PO面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，BOAC.基础诊断考点突破课堂总结所以以点 O 为坐标
8、原点，分别以 OB，OC，OP 所在直线为 x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 O(0,0,0)，A(0，8，0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意，得 G(0,4,0)因为OB(8,0,0)，OE(0，4,3)，设 n(x，y，z)为面 BOE 的法向量，则 nOB 0，nOE 0，x0，4y3z0，令 z4，得 y3.所以平面 BOE 的一个法向量 n(0,3,4)由FG(4,4，3)，得 nFG 0.又直线 FG 不在平面 BOE 内，所以 FG平面 BOE.基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用空间向量证明
9、垂直问题 【例2】(2015济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Oxyz.则 O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是AP(0,3,4)，BC(8,0,0)，APBC(0,3,4)(8,0,0)0，所以APBC，即 APBC.基础诊断考点突破课
10、堂总结(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点 M 在线段 AP 上，AM 35AP0，95，125，又BA(4，5,0)，BM BAAM 4，165，125，则APBM(0,3,4)4，165，125 0，APBM，即 APBM，又根据(1)的结论知 APBC，又 BMBCB，AP平面 BMC，于是 AM平面 BMC.又 AM平面 AMC，故平面 AMC平面 BCM.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；(2)证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向
11、量即可；(3)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面的法向量平行.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2013陕西卷改编)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，ABAA1 2.证明：A1C平面 BB1D1D.基础诊断考点突破课堂总结证明 由题设易知 OA，OB，OA1两两垂直，以 O 为原点建立空间直角坐标系，如图ABAA1 2，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由A1B1AB，易得 B1(1,
12、1,1)A1C(1,0，1)，BD(0，2,0)，BB1(1,0,1)，基础诊断考点突破课堂总结A1C BD 0，A1C BB1 0，A1CBD，A1CBB1，又 BDBB1B，A1C平面 BB1D1D.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.基础诊断考点突破课堂总结证明 以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系
13、C-xyz，PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBC30.PC2，BC2 3，PB4.基础诊断考点突破课堂总结D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，DP(0，1,2)，DA(2 3，3,0)，CM 32，0，32，(1)令 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，则DP n0，DA n0，即y2z0，2 3x3y0，z12y，x 32 y，基础诊断考点突破课堂总结令 y2，得 n(3，2,1)nCM 3 32 201320，nCM，又 CM平面 PAD，CM平面 PAD.基础诊断考点突破课堂总结(
14、2)取 AP 的中点 E，则 E(3，2,1)，BE(3，2,1)PBAB，BEPA.又BEDA(3，2,1)(2 3，3,0)0，BEDA，BEDA，又 PADAA，BE平面 PAD，又BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用空间向量解决探索性问题 【例3】(2015辽宁鞍山二模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 P
15、AAD1，PD 2，PA2AD2PD2，即 PAAD.又 PACD，ADCDD，PA平面 ABCD.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 如图所示，以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E0，23，13，AC(1,1,0)，AE0，23，13.设平面 AEC 的法向量为 n(x，y，z)，则nAC0，nAE0，即xy0，2yz0，令 y1，则 n(1,1，2)基础诊断考点突破课堂总结假设侧棱 PC 上存在一点 F，且CFCP(01)，使得 BF平面 AEC，则BFn0.又BF
16、BCCF(0,1,0)(，)(，1，)，BFn120，12，存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点基础诊断考点突破课堂总结规律方法 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”基础诊断考点突破课堂总结【训练4】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由基础诊断考点
17、突破课堂总结(1)证明 以 A 为原点，AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设 ABa，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)故AD1(0,1,1)，B1E a2，1，1，AB1(a,0,1)，AE a2，1，0.AD1 B1E a2011(1)10，B1EAD1.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP平面 B1AE，此时DP(0，1，z0)又设平面 B1AE 的法向量 n(x，y，z)n平面 B1AE，nAB1，nAE，得axz
18、0，ax2 y0.取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n1，a2，a，要使 DP平面 B1AE，只要 nDP，有a2az00，解得 z012.又 DP平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP12.基础诊断考点突破课堂总结微型专题 向量法解决立体几何问题利用已知的线面位置关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将立体几何中位置关系的证明转化为代数运算，其中灵活建系是解题的关键，有时通过两条垂直的直线也可建系基础诊断考点突破课堂总结【例4】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：C
19、D平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积基础诊断考点突破课堂总结点拨 本题中的(1)有两种证明思路：(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；(2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积法一(1)证明 如图，连接AC.由AB4，BC3，ABC90得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.基础诊断考点突破课堂总结因为 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD.而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 P
20、AE.(2)解 过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于点 F，G，连接 PF.由(1)CD平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BGAE.由 PA平面 ABCD 知，PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角由题意得PBABPF，因为 sinPBAPAPB，sinBPFBFPB，所以 PABF.基础诊断考点突破课堂总结由DABABC90知，ADBC.又 BGCD，所以四边形 BCDG 是平行四边形故 GDBC3.于是 AG2.在 RtBAG 中，AB4，AG2，BGAF，所以 BG AB2AG22 5，BFAB2BG 16
21、2 58 55.于是 PABF8 55.又梯形 ABCD 的面积为 S12(53)416，所以四棱锥 PABCD 的体积为V13SPA13168 55 128 515.基础诊断考点突破课堂总结法二 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设 PAh，则 A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)证明 易知CD(4,2,0)，AE(2,4,0)，AP(0,0，h)因为CD AE8800，CD AP0，所以 CDAE，CDAP.而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交
22、直线，所以 CD平面 PAE.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由题设和(1)知，CD，PA分别是平面 PAE，平面 ABCD的法向量而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以|cosCD，PB|cosPA，PB|，即CD PB|CD|PB|PAPB|PA|PB|.由(1)知，CD(4,2,0)，PA(0,0，h)，又PB(4,0，h)，基础诊断考点突破课堂总结故16002 5 16h2 00h2h 16h2.解得 h8 55.又梯形 ABCD 的面积为 S12(53)416，所以四棱锥 PABCD 的体积为V13SPA13168 55 128 515.基
23、础诊断考点突破课堂总结点评(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想基础诊断考点突破课堂总结2用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(
24、1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题基础诊断考点突破课堂总结易错防范1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
