1、2005年高三数学竞赛试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知A(-2,0)、B(0,2),C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC的面积的最大值是( )A3+ B3- C6 D42、设双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,且,则的值为( )A3B3C4D43、设l、m表示直线,表示平面,且l,有下列命题:若m,则ml; 若ml,则m ; 若m ,则ml; 若ml,则m 其中真命题的序号是( )ABCDyyxyy4、直线与圆的图象只可能是( )xOOxOxOA B C D5、已知B1、B2是椭圆短轴的两个端点,F1
2、、F2是椭圆的左右两个焦点,过F1作轴的垂线交椭圆于P点,若|OF1|、|F1B2|、|B1B2|成等比数列,则的值是( )A B C DD1CC1BB1AA1D6、在正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是异面直线AC与A1D的公垂线,E、F是垂足,则EF与BD1的位置关系是( )A相交直线B平行直线C异面且垂直D异面但不垂直7、已知的图象与轴、轴有三个不同的交点,有一个圆恰好经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A(0,1) B(0,2)C(0,)D(0,)8、设P()是曲线上的点,对于点P与F1(-4,0)、F2(4,0),下列结论正确的是( )A|PF1|+|PF2|1
3、0 B|PF1|+|PF2|10C|PF1|+|PF2|10D|PF1|+|PF2|10C1CB1BAA19、如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长都相等,则二面角AA1BC的平面角的正切值为( )A B C D10、四棱锥PABCD中,AD面PAB,BC面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,APD=CPB,则满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是( )DCBAPA圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.11、在的二面角内,放入一半径为4的球,分别与两个半平面相切与A、B两点,则A、B间的球面距离为
4、;12、已知双曲线的离心率,则的取值范围是 ;D1CC1BB1AA1DHEGFN13、已知点P是抛物线上一点,设P点到此抛物线准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值是 ;14、如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件 时,有MN平面B1BDD1;三、解答题:本大题5个小题,共54分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15(本小题满分10分)ABCOyx如图,在y轴的正半轴上给定两点A(0,4)、B(0,1),试在x轴的正半轴上求一点C,使得ACB取得最大值
5、。16(本小题满分10分) 直线和双曲线的左支交于A、B两点,直线过点P(-2,0)和线段AB的中点,求: (1)的取值范围; (2)是否存在值,使在轴的截距为1?若存在,求的值,若不存在,说明理由。17(本小题满分10分)已知四边形ABCD中,平面ABCD,PA=AD=3BC=3,AB=2.BCDAP (1)求点D到平面PAC的距离; (2)若点M分的比为2,求二面角MCDA的正切值. 18(本小题满分12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,ADC=,3AD=DC=3,AB=2,E是DC上一点,满足DE=1,连结AE,将DAE沿AE折起到D1AE的位置,使得D1AB=,设AC与BE的交点为
6、O.(1)试用基向量、表示向量;ED1DCBAO(2)求异面直线OD1与AE所成的角;(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直,说明理由.19(本小题满分12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。()求这三条曲线的方程;()已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。参考答案及评分标准一、选择题1A 2C 3D 4D 5B 6B 7A 8C 9A 10B 二、填空题11 12 13 14(或其它符合的条件也算对)三、解答题15、解:设
7、点C的坐标为()(0),ACB就是直线AC到直线BC的角,设,则:=(0)2=4当且仅当0)即时,值最大,又ACB,于是点C的坐标为(2,0)时,值最大,ACB最大.16、(1)解:设A(x1,y1)、B(x2,y2)则:由得:则解得:1(2)设AB的中点坐标为(),则:,于是即解得:或又1,故不存在使在轴的截距为1。17、解法一:(1)过D作DQAC于点Q,平面ABCD,. 平面PAC. 又由,D到平面PAC的距离为(2)过A作AKDC于K点,连MK. PA平面ABCD,MKCD.MKA为MCDA的平面角. 中,由面积相等,得,解法二:以A为坐标原点,分别以所在直线为x、y、z轴建立坐标系.(1)过D作即DQ就是D到平面PAC的距离设由(2)过A作则就是MCDA的平面角.18、解:由题意知四边形ABCE为平行四边形(1)=+=(2)=,=,=()=()2=,即|=于是cos=即异面直线OD1与AE所成的角为arccos (3)取AE的中点为M,则=,由=()=0得MD1AB又MD1AE,ABAE=A则MD1平面ABCE又MD1平面D1AE,所以平面D1AE平面ABCE.19、解:()设抛物线方程为,将代入方程得(1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为(2分)对于椭圆,(4分)对于双曲线,(6分)()设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为令(7分)(12分)