1、第2讲 直接证明与间接证明 知识梳理三种证明方法的定义与步骤:1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤:(1) 假设命题的结论不成立;
2、 (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立重难点突破重点:能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题难点:运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题1.从命题的特点、形式去选择证明方法一般地,结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语,或否定性命题,或要讨论的情况很复杂的,可以考虑用反证法一般地,含分式、根式的不等式,或从条件出发思路不明显的命题,可以考虑用分析法命题的结论有明确的证明方向的,适宜用综合法问题1:
3、对于任意非零实数,等式总不成立点拨:从命题的形式特点看,适合用反证法证明 2.比较复杂的命题,有时需要多种证明方法综合运用,各取所长。热点考点题型探析考点1 综合法 题型:用综合法证明数学命题 例1 (东莞20072008学年度第一学期高三调研测试) 对于定义域为的函数,如果同时满足以下三条:对任意的,总有;若,都有成立,则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数,求的值;(2)判断函数()是否为理想函数,并予以证明;【解题思路】证明函数()满足三个条件解析(1)取可得 又由条件,故 (2)显然在0,1满足条件; 也满足条件若,则 ,即满足条件, 故理想函数 【名师指引】紧扣定义,逐个验证【新
4、题导练】1.(2008年佛山)证明:若,则解析当时,两边取对数,得,又当时2.在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形,在上是增函数,同理可得,3. .已知数列中各项为:个个12、1122、111222、 ,证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.解析 个记:A = , 则A=为整数 = A (A+1) , 得证 考点2 分析法题型:用分析法证明数学命题例2 已知,求证 解析要证,只需证 即,只需证,即证显然成立,因此成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”,而不是“因为-所以-”【新题导练】4. 若且,求证:解析要证,只需证即,因,只需证即,设,则成立,从而成立5. 已知,
5、求证:解析 ,显然成立,故成立考点2 反证法 题型:用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 已知,证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”,选择反证法,因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾 解析假设是的负数根,则且且,解得,这与矛盾,故方程没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多【新题导练】6. (08江西5校联考)某个命题与正整数有关,若时该命题成立,那么可推得时该命题也成立,现在已知当时该命题不成立,那么可推得 A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立解析用反证法,可证当时,该命题不成立7.设a、b、c都是
6、正数,则、三个数A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2解析 ,举反例可排除A、B、C,故选D8.已知a、b、c成等差数列且公差,求证:、不可能成等差数列解析 a、b、c成等差数列,假设、成等差数列,则,从而与矛盾,、不可能成等差数列9. (广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试)下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:358915 请将错误的一个改正为 = 解析,所以3和9的对数值正确,若正确,则从而,即,矛盾。故15的对数值错误,应改正为抢分频道基础巩固训练1.(2008年华师附中)用反证法证明命题:“三角形内角和至少有一个不大于
7、”时,应假设( )A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于解析 B2.已知,关于的取值范围的说法正确的是( )A. 不大于 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于解析 B3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( )A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定解析 B4.要证明不等式成立,只需证明: 解析 5.已知 与的大小关系是 解析 (注意:不能取等号)用平均值不等式6. (07年惠州第一问)已知数列满足, ,求证:是等比数列; 解析由an1an6an1,an12an3(an2an
8、1) (n2)a15,a25a22a115故数列an12an是以15为首项,3为公比的等比数列 综合提高训练7. (金山中学2009届高三期中考)已知表中的对数值有且只有两个是错误的: x1.53568912lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c3(1-a-c)2(2a-b)1-a+2b请你指出这两个错误 (答案写成如lg20abc的形式)解析若错误,则也错误,反之亦然,此时其他对数值都正确,但,、且,若错误,则也错误, 正确若错误,也能导出错误,正确,正确,综上,8. 设函数为奇函数.()求实数的值;()用定义法判断在其定义域上为增函数解析()依题意,函数的定义域为R是奇函数 ()由()知, 设且,则在R上是增函数9. 已知证明: 解析即证: 设.当x(-1,0)时,k(x)0,k(x)为单调递增函数;当x(0,)时,k(x)0,k(x)为单调递减函数;x=0为k(x)的极大值点,k(x)k(0)=0.即10. 已知函数, 的最小值恰好是方程的三个根,其中求证:;解析三个函数的最小值依次为, 由,得 ,故方程的两根是,故, ,即 参考例题:1. 设为非零向量,且不平行,求证,不平行解析假设,则,不平行,因方程组无解,故假设不成立,即原命题成立2. 已知为锐角,且,函数,数列an的首项. 求函数的表达式; 求证:; 求证: 解析 又为锐角 都大于0 , , 又