1、第2讲 直接证明与间接证明 知识梳理三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；
2、 (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立重难点突破重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题1.从命题的特点、形式去选择证明方法一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法问题1：
3、对于任意非零实数，等式总不成立点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明 2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。热点考点题型探析考点1 综合法 题型：用综合法证明数学命题 例1 (东莞20072008学年度第一学期高三调研测试) 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；【解题思路】证明函数（）满足三个条件解析（1）取可得 又由条件，故 （2）显然在0，1满足条件； 也满足条件若，则 ，即满足条件， 故理想函数 【名师指引】紧扣定义，逐个验证【新
4、题导练】1.(2008年佛山)证明:若,则解析当时，两边取对数，得，又当时2.在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，3. .已知数列中各项为：个个12、1122、111222、 ,证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.解析 个记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 考点2 分析法题型：用分析法证明数学命题例2 已知,求证 解析要证，只需证 即，只需证，即证显然成立，因此成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”【新题导练】4. 若且，求证：解析要证，只需证即，因，只需证即，设，则成立，从而成立5. 已知，
5、求证：解析 ，显然成立，故成立考点2 反证法 题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 解析假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多【新题导练】6. （08江西5校联考）某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现在已知当时该命题不成立，那么可推得 A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立 D.当时，该命题成立解析用反证法，可证当时，该命题不成立7.设a、b、c都是
6、正数，则、三个数A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2解析 ，举反例可排除A、B、C，故选D8.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能成等差数列解析 a、b、c成等差数列，假设、成等差数列，则，从而与矛盾，、不可能成等差数列9. （广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = 解析，所以3和9的对数值正确，若正确，则从而，即，矛盾。故15的对数值错误，应改正为抢分频道基础巩固训练1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于
7、”时，应假设（ ）A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于解析 B2.已知，关于的取值范围的说法正确的是（ ）A. 不大于 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于解析 B3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定解析 B4.要证明不等式成立，只需证明： 解析 5.已知 与的大小关系是 解析 （注意：不能取等号）用平均值不等式6. (07年惠州第一问)已知数列满足, ，求证：是等比数列； 解析由an1an6an1，an12an3(an2an
8、1) (n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列 综合提高训练7. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： x1.53568912lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c3(1-a-c）2(2a-b)1-a+2b请你指出这两个错误 （答案写成如lg20abc的形式）解析若错误，则也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但，、且，若错误，则也错误， 正确若错误，也能导出错误，正确，正确，综上，8. 设函数为奇函数.（）求实数的值；（）用定义法判断在其定义域上为增函数解析（）依题意，函数的定义域为R是奇函数 （）由（）知， 设且，则在R上是增函数9. 已知证明： 解析即证： 设.当x（-1，0）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（0，）时，k(x)0，k(x)为单调递减函数；x=0为k(x)的极大值点，k(x)k(0)=0.即10. 已知函数， 的最小值恰好是方程的三个根，其中求证：；解析三个函数的最小值依次为， 由，得 ，故方程的两根是，故， ，即 参考例题：1. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行解析假设，则，不平行，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立2. 已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证： 解析 又为锐角 都大于0 , , 又