1、考纲要求：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若，则集合 P 为椭圆；(2)若，则集合 P 为线段；(3)若，则集合 P 为空集椭圆焦点焦距aca=ca0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知椭圆x2a2y2b21，作一个三角形，使它的一个顶点为焦点 F1，另两个顶点
2、D，E 在椭圆上且边 DE 过焦点 F2，则F1DE的周长为_答案：4a3已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，且点 N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是_答案：椭圆4椭圆x216y281 的离心率为_答案：225椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2倍，则 m_.解析：椭圆 x2my21 可化为 x2y21m1，因为其焦点在 y 轴上，a21m，b21，依题意知1m2，解得 m14.答案：146焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为_答案：x225y291 或x29 y2251典题 1 (1)
3、如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D圆(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.听前试做(1)由折叠过程可知点 M 与点 F 关于直线 CD 对称，故|PM|PF|.所以|PO|PF|PO|PM|OM|r.由椭圆的定义可知，P 点的轨迹为椭圆(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则r1r22a，r21r224c2，2r1
4、r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，又SPF1F212r1r2b29，b3.答案：(1)A(2)3探究 1 本例(2)中增加条件“PF1F2 的周长为 18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解：由原题得 b2a2c29，又 2a2c18，所以 ac1，解得 a5，故椭圆方程为x225y291.探究 2 本例(2)中条件、“PF1F2 的面积为9”分别改为“F1PF260”“SPF1F23 3”，结果如何？解：|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，
5、所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|43b2，又因为 SPF1F212|PF1|PF2|sin 601243b2 32 33 b23 3，所以 b3.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等典题 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，5)，且与椭圆y225x29 1 有相同的焦点；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距
6、离分别为 5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，(3，5)听前试做(1)法一：椭圆y225x29 1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4.由 椭 圆 的 定 义 知，2a 302 542 302 542，解得 a2 5.由 c2a2b2 可得 b24.所以所求椭圆的标准方程为y220 x24 1.法二：设所求椭圆方程为y225k x29k1(kb0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，2c25232，解得 a4，c2，b212.故椭圆方程为x216y2121 或y216x2121.(3)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，m
7、n)，由322m522n1，3m5n1，解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x26 1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式求与椭圆x24 y231 有相同的离心率且经过点(2，3)的椭圆的标准方程解：由题意，设所求椭圆的方程为x24 y23t1 或y24x23 t2(t1，t20)，椭圆过点(2，3)，t1224 3232，或 t2 324223 2512.故所求椭圆标准方程为
8、x28 y261 或y2253x22541.典题 3(1)(2015福建高考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1(2)(2015浙江高考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_听前试做(1)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8
9、，所以 a2.又 d|304b|3242 45，所以 1b2，所以 eca1b2a21b24.因为 1b2，所以 0e 32.(2)设椭圆的另一个焦点为 F1(c,0)，如图，连接 QF1，QF，设 QF 与直线 ybcx 交于点 M.由题意知 M 为线段 QF 的中点，且 OMFQ.又 O 为线段 F1F 的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在 RtMOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，|OF|c，可解得|OM|c2a，|MF|bca，故|QF|2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a.由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca 2c2a 2a，整理得 bc，ab
10、2c2 2c，故 eca 22.答案：(1)A(2)22求椭圆的离心率的方法(1)直接求出 a、c，从而求解 e，通过已知条件列方程组，解出 a、c 的值(2)构造 a、c 的齐次式，解出 e，由已知条件得出 a、c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率1已知点 F1，F2 分别是椭圆 x22y22 的左、右焦点，点 P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是()A0 B1 C2 D2 22设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，过F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴交于点
11、D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_解析：由题意知 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c a2b2，因为过 F2 且与 x 轴垂直的直线为 xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 Ac，b2a，Bc，b2a.因为 AB 平行于 y 轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即 D 为线段 F1B 的中点，所以点 D的坐标为0，b22a，又 ADF1B，所以 kADkF1B1，即b2a b22ac0b2a 0cc1，整理得 3b22ac，所以 3(a2c2)2ac，又 eca，0eb0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C 的另一个
12、交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求椭圆 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.听前试做(1)根据 a2b2c2 及题设知 Mc，b2a，b2a2c34，得 2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故椭圆 C 的离心率为12.(2)设直线 MN 与 y 轴的交点为 D，由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因
