1、第 1 讲 导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数 知 识 梳 理1导数与导函数的概念(2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间内的导函数记作 f(x)或 y.2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的导数的几何意义
2、，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 k，即 kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1 f(x)sin xf(x)cos_x f(x)cos xf(x)sin_x f(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_a f(x)ln xf(x)1x f(x)logax(a0，a1)f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f（x）g
3、（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)5复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)已知曲线 yx3，则过点 P(1，1)的切线有两条()(4)物体的运动方程是 s4t216t，在某一时刻的速度为 0，则相应时刻 t2.()(5)f(axb)f(axb)()2(2014新课标全国卷)设
4、曲线 yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则 a()A0 B1 C2 D3解析 ya 1x1，由题意得 y|x02，即 a12，所以 a3，故选 D.答案 D3(2015保定调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()Ae Be C.1eD1e解析 yln x 的定义域为(0，)，且 y1x，设切点为(x0，ln x0)，则 y|xx01x0，切线方程为 yln x01x0(xx0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x01，解得 x0e，故此切线的斜率为1e.答案 C4设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_解析 设 ext，
5、则 xln t(t0)，f(t)ln tt，f(t)1t1，f(1)2.答案 25(2014江西卷)若曲线 yex 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_解析 由题意得 yex，设 P(x0，y0)，直线 2xy10 的斜率为2，所以，ex02，解得 x0ln 2，所以 ex02y0.故 P(ln 2，2)答案(ln 2，2)考点一 导数的运算【例 1】分别求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsin x2cos x2；(4)yln 1x2.解(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.(2)yx31
6、 1x2，y3x22x3.(3)yxsin x2cos x2x12sin x，yx12sin x 112cos x.(4)yln 1x212ln(1x2)，y1211x2(1x2)1211x22xx1x2.规律方法(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【训练 1】分别求下列函数的导数：(1)y11 x11 x；(2)ysin2x2；(3)yln（2x1）x.解(1)y11 x1
7、1 x 21x，y02（1x）（1x）22（1x）2.(2)ysin2x212(1cos x)1212cos x，y12(cos x)12(sin x)12sin x.(3)yln（2x1）xln（2x1）xxln（2x1）x2（2x1）2x1xln（2x1）x22x2x1ln（2x1）x22x（2x1）ln（2x1）（2x1）x2.考点二 导数的几何意义及其应用【例 2】已知函数 f(x)x34x25x4.(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线在点(2，f(2)
8、处的切线方程为 y2x2，即 xy40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点P(x0，x304x205x04)，f(x0)3x208x05，切线方程为 y(2)(3x208x05)(x2)，又切线过点 P(x0，x304x205x04)，x304x205x02(3x208x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得 x02 或 1，经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40，或 y20.规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的
9、切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解【训练 2】(1)(2015云南统一检测)函数 f(x)ln x2xx在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)设 a 为实数，函数 f(x)x3ax2(a3)x 的导函数为 f(x)，且 f(x)是偶函数，则曲线 yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x1 By3xCy3x1 Dy3x3解析(1)f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故函数 f(x)在点(1，2)处的切线方程为y(2)x1，即 xy30.(2)f(x)3x22ax(a3)，又 f(x)为偶函数，则 a0，所以 f(x)x33x，
10、f(x)3x23，故 f(0)3，故所求的切线方程为 y3x.答案(1)C(2)B考点三 导数几何意义的综合应用【例 3】(2014北京卷)已知函数 f(x)2x33x.(1)求 f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切，求 t 的取值范围；(3)问过点 A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线 yf(x)相切？(只需写出结论)解(1)由 f(x)2x33x 得 f(x)6x23.令 f(x)0，得 x 22 或 x 22.因为 f(2)10，f 22 2，f22 2，f(1)1，所以 f(x)在区间2，1上的最大
11、值为 f 22 2.(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 yf(x)相切于点(x0，y0)，则 y02x303x0，且切线斜率为 k6x203，所以切线方程为 yy0(6x203)(xx0)，因此 ty0(6x203)(1x0)整理得 4x306x20t30.设 g(x)4x36x2t3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)于是，当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3 t1 所以，g(0)t3 是 g(x)的极大值；g(1)t
12、1 是 g(x)的极小值当 g(0)t30，即 t3 时，此时 g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点当 g(1)t10，即 t1 时，此时 g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点当 g(0)0 且 g(1)0，即3t1 时，因为 g(1)t70，g(2)t110，所以 g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有 1个零点由于 g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以 g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有 1 个零点综上可知，当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x
13、)相切时，t 的取值范围是(3，1)(3)过点 A(1，2)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 B(2，10)存在 2 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 yf(x)相切规律方法 解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于 x0 的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到 t 满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可【训练 3】设函数 yx22x2 的图象为 C1，函数 yx2axb 的图象为 C2，已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直(1)求 a，b
14、 之间的关系；(2)求 ab 的最大值解(1)对于 C1：yx22x2，有 y2x2，对于 C2：yx2axb，有y2xa，设 C1 与 C2 的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即 4x202(a2)x02a10.又点(x0，y0)在 C1 与 C2 上，故有y0 x202x02，y0 x20ax0b2x20(a2)x02b0.由消去 x0，可得 ab52.(2)由(1)知：b52a，aba52a a5422516.当 a54时，(ab)最大值2516.思想方法1f(x0)代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值；(f(x0)是
15、函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导易错防范1利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1 与指数函数的求导公式(ax)axln x 混淆2直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，
16、也不能说明直线与曲线只有一个公共点3曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线 y0 是曲线 yx3 在点(0，0)处的切线基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2015深圳中学模拟)曲线 yx3 在原点处的切线()A不存在B有 1 条，其方程为 y0C有 1 条，其方程为 x0D有 2 条，它们的方程分别为 y0，x0解析 y3x2，ky|x00，曲线 yx3 在原点处的切线方程为 y0.答案 B2若曲线 yx4 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析 切线 l 的斜率 k4，设 yx4 的切点的坐标为(x
17、0，y0)，则 k4x304，x01，切点为(1，1)，即 y14(x1)，整理得 l 的方程为 4xy30.答案 A3(2015湛江调研)曲线 ye2x1 在点(0，2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D1解析 y|x0(2e2x)|x02，故曲线 ye2x1 在点(0，2)处的切线方程为 y2x2，易得切线与直线 y0 和 yx 的交点分别为(1，0)，23，23，故围成的三角形的面积为1212313.答案 A4已知 f1(x)sin xcos x，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x
18、)fn(x)，nN*，则 f2 015(x)等于()Asin xcos xBsin xcos xCsin xcos xDsin xcos x解析 f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以 4 为周期的函数，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故选 A.答案 A5如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ay12x312x2x
19、By12x312x23xCy14x3xDy14x312x22x解析 设三次函数的解析式为 yax3bx2cxd(a0)，则 y3ax22bxc.由已知得 yx 是函数 yax3bx2cxd 在点(0，0)处的切线，则 y|x01c1，排除 B，D.又y3x6 是该函数在点(2，0)处的切线，则 y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有 A 项的函数符合，故选 A.答案 A二、填空题6已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4 的值为_解析 f(x)f4 sin xcos x，f4 f 4 sin 4 cos 4，f4 21，f 4(21)cos 4 sin 4 1.
20、答案 17(2014江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_解析 yax2bx的导数为 y2ax bx2，直线 7x2y30 的斜率为72.由题意得4ab25，4ab472，解得a1，b2，则 ab3.答案 38(2015开封调研)若函数 f(x)12x2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a的取值范围是_解析 f(x)12x2axln x，f(x)xa1x.f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点，x1xa0 有解，ax1x2(x0)答案 2，)
21、三、解答题9求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2)ysin22x3；(3)ylog3(2x1)解(1)ynxn1lg xxn1xln 10 xn1nlg x 1ln 10.(2)ysin22x3 121cos4x23，y12cos4x2312sin4x234x232sin4x23.(3)y1（2x1）ln 3(2x1)2（2x1）ln 3.10已知曲线 y13x343.(1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程解(1)P(2，4)在曲线 y13x343上，且 yx2，在点 P(2，4)处的切线的斜率为 y|x24.曲线在点 P(2，4)处的切线
22、方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)设曲线 y13x343与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x3043，则切线的斜率为 y|xx0 x20.切线方程为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01，或 x02，故所求的切线方程为 xy20，或 4xy40.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11已知曲线 y1ex1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为()Ax4
23、y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析 yex（ex1）21ex1ex2，因为 ex0，所以 ex1ex2ex1ex2(当且仅当 ex1ex，即 x0 时取等号)，则 ex1ex24，故 y1ex1ex214当(x0 时取等号)当 x0 时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为0，12，切线的方程为 y1214(x0)，即 x4y20.故选 A.答案 A12(2014开封二模)过点 A(2，1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有()A3 条B2 条C1 条D0 条解析 由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x303x0)，那么切线的斜率为k3x203，利用点斜式
24、方程可知切线方程为 y(x303x0)(3x203)(xx0)，将点 A(2，1)代入可得关于 x0 的一元三次方程 2x306x2070.令 y2x306x207，则 y6x2012x0.由 y0 得 x00 或 x02.当 x00 时，y70；x02时，y10.结合函数 y2x306x207 的单调性可得方程 2x306x2070有 3 个解故过点 A(2，1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有 3 条，故选 A.答案 A13(2014武汉中学月考)已知曲线 f(x)xn1(nN*)与直线 x1 交于点 P，设曲线 yf(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn，则 log
25、2 016x1log2 016x2log2 016x2 015 的值为_解析 f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点 P(1，1)处的切线方程为 y1(n1)(x1)，令 y0，得 x1 1n1 nn1，即 xn nn1，x1x2x2 0151223342 0142 0152 0152 01612 016，则 log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.答案 114设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线
26、 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3，当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形
27、的面积为 S126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.第 2 讲 导数在研究函数中的应用最新考纲 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)知 识 梳 理1函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x)在某个区间内可导，(1)如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单
28、调递增；(2)如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减；(3)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内是常数函数2函数的极值与导数(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续且 f(x0)0，如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(
29、x)在这个根处取得极小值3函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)设函数 f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(3)函数的极大值不一定比极小值大(
30、)(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()2(2015北京海淀区模拟)函数 f(x)x22ln x 的单调递减区间是()A(0，1)B(1，)C(，1)D(1，1)解析 f(x)2x2x2（x1）（x1）x(x0)当 x(0，1)时 f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数答案 A3设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将 yf(x)和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()解析 由函数 f(x)递增时，f(x)0；函数 f(x)递减时，
31、f(x)0.函数 f(x)取最值时，f(x)为 0，结合图象可判得 D.答案 D4(2014新课标全国卷)若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是()A(，2 B(，1C2，)D1，)解析 依题意得 f(x)k1x0 在(1，)上恒成立，即 k1x在(1，)上恒成立，x1，01x1，k1，故选 D.答案 D5(人教 A 选修 22P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为_解析 由题意知在 x1 处 f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正答案 1考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2014山东卷)设函
32、数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性解(1)由题意知 a0 时，f(x)x1x1，x(0，)此时 f(x)2（x1）2.可得 f(1)12，又 f(1)0，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)ax2（x1）2ax2（2a2）xax（x1）2.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12
33、（x1）2x（x1）2 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当12a0 时，0.设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1（a1）2a1a，x2（a1）2a1a.由 x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(
34、0，)上单调递减；当12a0 时，f(x)在0，（a1）2a1a，（a1）2a1a，上单调递减，在（a1）2a1a，（a1）2a1a上单调递增规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到【训练 1】(2015嘉兴质检)已知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当 a32时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，1上为单调
35、函数，求实数 a 的取值范围解(1)当 a32时，f(x)ex21ex32x，f(x)12ex(ex)23ex2 12ex(ex1)(ex2)，令 f(x)0，得 ex1 或 ex2，即 x0 或 xln 2；令 f(x)0，则 x0 或 xln 2；令 f(x)0，则 0 xln 2.f(x)的递增区间是(，0)，(ln 2，)；递减区间是(0，ln 2)(2)f(x)ex21exa，令 ext，由于 x1，1，t1e，e.令 h(t)t21tt1e，e，h(t)121t2t222t2，当 t1e，2 时，h(t)0，函数 h(t)为单调减函数；当 t(2，e时，h(t)0，函数 h(t)为
36、单调增函数故 h(t)在1e，e 上的极小值点为 t 2.又 h(e)e21eh1e 12ee，2h(t)e 12e.函数 f(x)在1，1上为单调函数，若函数 f(x)在1，1上单调递增，则 at21t对 t1e，e 恒成立，所以 a 2；若函数 f(x)在1，1上单调递减，则 at21t对 t1e，e 恒成立，所以 ae 12e，综上可得 a 的取值范围是(，2e 12e，.考点二 利用导数研究函数的极值【例 2】已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解
37、(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x，知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0，5)时，f(x)0，故 f(x)在(0，5)内为减函数；当 x(5，)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5.规律方法(1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在
38、x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同(2)若函数 yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么 yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值【训练 2】(2014重庆卷)已知函数 f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数 f(x)为偶函数，且曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为 4c.(1)确定 a，b 的值；(2)若 c3，判断 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有极值，求 c 的取值范围解(1)对 f(x)求导，得 f(x)2ae2x2be2xc，由 f(x)为偶函数，知 f(x)f(x)恒成立，即 2(ab)(e2xe2x)0，所以 ab.
39、又 f(0)2a2bc4c，故 a1，b1.(2)当 c3 时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32 2e2x2e2x310，故 f(x)在 R 上为增函数(3)由(1)知 f(x)2e2x2e2xc，而 2e2x2e2x2 2e2x2e2x4，当 x0 时等号成立下面分三种情况进行讨论：当 c0，此时 f(x)无极值；当 c4 时，对任意 x0，f(x)2e2x2e2x40，此时 f(x)无极值；当 c4 时，令 e2xt，注意到方程 2t2tc0 有两根 t1，2c c21640，即 f(x)0 有两个根 x12ln t1 或 x12ln t2.当 x1xx2 时，f
40、(x)x2 时，f(x)0，从而 f(x)在 xx2 处取得极小值综上，若 f(x)有极值，则 c 的取值范围为(4，)考点三 利用导数研究函数的最值【例 3】(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间1，4上的最小值为 8，求 a 的值解(1)当 a4 时，由 f(x)2（5x2）（x2）x0 得 x25或 x2，由 f(x)0 得 x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)深度思考 对于第(2)问已知函数 f(x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解
41、法你了解吗？(先求 f(x)的最值再解方程求参数)(2)f(x)（10 xa）（2xa）2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增；当 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增易知 f(x)(2xa)2 x0，且 f a2 0.当a21，即2a0 时，f(x)在1，4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意当 1a24，即8a2 时，f(x)在1，4上的最小值为 f a2 0，不符合题意当a24，即 a8 时，f(x)在1，4上的最小值可能在 x1 或 x4 处取得，而 f
42、(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)，当a10 时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为 f(4)8，符合题意综上，a10.规律方法(1)求解函数的最值时，要先求函数 yf(x)在a，b内所有使 f(x)0 的点，再计算函数 yf(x)在区间内所有使 f(x)0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数【训练 3】已知函数 f(x)xln x.(1)求函数 f(x)的极值点；(2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间1，e上的最小值(其中
43、 e 为自然对数的底数)解(1)f(x)ln x1，x0，由 f(x)0 得 x1e，所以 f(x)在区间0，1e 上单调递减，在区间1e，上单调递增所以，x1e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则 g(x)ln x1a，由 g(x)0，得 xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当 ea11，即 a1 时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以 g(x)的最小值为 g(1)0.当 1ea1e，即 1a2 时，g(x)的最小值为 g(ea1)aea1.当 ea1e，即 a2 时，在区间1，
44、e上，g(x)为递减函数，所以 g(x)的最小值为 g(e)aeae.综上，当 a1 时，g(x)的最小值为 0；当 1a2 时，g(x)的最小值为 aea1；当 a2 时，g(x)的最小值为 aeae.思想方法1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得易错防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2解题时要注意区分求单调性
45、和已知单调性求参数范围等问题，处理好 f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点3f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2015九江模拟)函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是()A(，2)B(0，3)C(1，4)D(2，)解析 函数 f(x)(x3)ex 的导数为 f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当 f(x)0 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f(x)(
46、x2)ex0，解得 x2.答案 D2函数 yxex 的最小值是()A1 Be C1eD不存在解析 yexxex(1x)ex，令 y0，则 x1，因为 x1 时，y0，x1 时，y0，所以 x1 时，ymin1e.答案 C3.(2013浙江卷)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析 由 yf(x)的图象知，yf(x)的图象为增函数，且在区间(1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢 答案 B4对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(xa)f(x)0，则必有()Af(x)f(a)Bf(x)f(a)
47、Cf(x)f(a)Df(x)a 时，f(x)0；当 x0，f(x)ln x12ax，由于函数 f(x)有两个极值点，则 f(x)0 有两个不等的正根，即函数 yln x1 与 y2ax 的图象有两个不同的交点(x0)，则 a0；设函数 yln x1 上任一点(x0，1ln x0)处的切线为 l，则kly1x0，当 l 过坐标原点时，1x01ln x0 x0 x01，令 2a1a12，结合图象知 0a0)，f(x)x56x（x2）（x3）x.令 f(x)0，解得 x12，x23.当 0 x3 时，f(x)0，故 f(x)的递增区间是(0，2)，(3，)；当 2x3 时，f(x)0，故 f(x)的
48、递减区间是(2，3)由此可知 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)926ln 2，在 x3 处取得极小值 f(3)26ln 3.10(2014湘潭检测)已知函数 f(x)x3ax2bxc 在点 P(1，f(1)处的切线方程为 y3x1.(1)若函数 f(x)在 x2 时有极值，求 f(x)的解析式；(2)函数 f(x)在区间2，0上单调递增，求实数 b 的取值范围解 f(x)3x22axb，函数 f(x)在 x1 处的切线斜率为3，所以 f(1)32ab3，即 2ab0，又 f(1)1abc2 得 abc1.(1)函数 f(x)在 x2 时有极值，所以 f(2)124ab0，由解得 a2，
49、b4，c3，所以 f(x)x32x24x3.(2)因为函数 f(x)在区间2，0上单调递增，所以导函数 f(x)3x2bxb在区间2，0上的值恒大于或等于零，则f（2）122bb0，f（0）b0，得 b4，所以实数 b 的取值范围是4，)能力提升题组(建议用时：25 分钟)11(2015温州十校月考)已知 f(x)是可导的函数，且 f(x)f(x)对于 xR 恒成立，则()Af(1)e2 014f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Cf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Df(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)解析 令 g(x)f
50、（x）ex，则 g(x)f（x）exf（x）exf（x）（ex）e2xf（x）f（x）ex0，所以函数 g(x)f（x）ex在 R 上是单调减函数，所以 g(1)g(0)，g(2 014)g(0)，即f（1）e1f（0）1，f（2 014）e2 014f（0）1，故 f(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)答案 D12(2015福州质量检测)若函数 f(x)x33a2x2x1 在区间12，3 上有极值点，则实数 a 的取值范围是()A.2，52B.2，52C.2，103D.2，103解析 若函数 f(x)在区间12，3 上无极值，则当 x12，3 时，f(x)x2ax10 恒成
51、立或当 x12，3 时，f(x)x2ax10 恒成立当 x12，3时，yx1x的值域是2，103；当 x12，3 时，f(x)x2ax10，即 ax1x恒成立，a2；当 x12，3，f(x)x2ax10，即 ax1x恒成立，a103.因此要使函数 f(x)在12，3 上有极值点，实数 a 的取值范围是2，103，故选 C.答案 C13已知函数 f(x)12x24x3ln x 在区间t，t1上不单调，则 t 的取值范围是_解析 由题意知 f(x)x43x（x1）（x3）x，由 f(x)0 得函数f(x)的两个极值点为 1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数 f(x)在区间
52、t，t1上就不单调，由 t1t1 或 t3t1，得 0t1 或 2t0，又由 h0 可得 0r0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点【训练 1】某商场销售某种商品的经
53、验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310(x6)2210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)
54、(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)极大值 42 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.答：当销售价格为 4 元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大考点二 利用导数证明不等式【例 2】(2014新课标全国卷)设函数 f(x)aexln xbex1x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ye(x1)2.(1)求 a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexl
55、n xaxexbx2ex1bxex1.由题意可得 f(1)2，f(1)e.故 a1，b2.(2)证明 由(1)知，f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e.设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x.所以当 x0，1e 时，g(x)0；当 x1e，时，g(x)0.故 g(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g1e 1e.设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x)所以当 x(0，1)时，h(x)0；当 x(1，)时 h(x)0.故 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而
56、h(x)在(0，)上的最大值为 h(1)1e.综上，当 x0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.规律方法 利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与 0 的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路【训练 2】已知函数 f(x)2ln xaxa(aR)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0 恒成立，证明：当 0 x1x2 时，f（x2）f（x1）x2x10.若 a0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若 a0，当 x0，2a 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x2a，时，f(x)2，
57、当 x2a，1 时，f(x)单调递减，f(x)f(1)0，不合题意，若 0af(1)0，不合题意，若 a2，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)f(1)0 符合题意故 a2，且 ln xx1(当且仅当 x1 时取“”)当 0 x1x2 时，f(x2)f(x1)2lnx2x12(x2x1)2x2x11 2(x2x1)2(1x11)(x2x1)，所以f（x2）f（x1）x2x10，f(x)是增函数；当 x(e1a，)时，f(x)0，得 xe2a；令 F(x)e2a，故函数 F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，)上是减函数当 e2a0 时，函数 F(x)在区
58、间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.又 F(e1a)0，F(e2)a1e2 0，由图象，易知当 0 xe1a 时，F(x)0；当 e1a0，此时函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0，e2上有 1 个公共点当 e2ae2，即 a0 时，F(x)在区间(0，e2上是增函数，F(x)maxF(e2)a1e2.若 F(x)maxF(e2)a1e2 0，即1a0 时，函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0，e2上只有 1 个公共点；若 F(x)maxF(e2)a1e2 0，即 a1 时，函数 f(x)的图象与函数 g(x
59、)的图象在区间(0，e2上没有公共点综上，满足条件的实数 a 的取值范围是1，)规律方法 函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一【训练 3】(2013北京卷)已知函数 f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值；(2)若曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，求 b 的取值范围解 由 f(x)x2xsin xcos x，得 f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2
60、cos x)(1)因为曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，所以 f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得 a0，bf(0)1.(2)设 g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令 g(x)f(x)0 x(2cos x)0，得 x0.当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)1b 所以函数 g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且g(x)的最小值为 g(0)1b.当 1b0 时，即 b1 时，g(x)0 至多有一个实根，曲线 yf(x)与 yb最多有一个交点，不合题意当 1b1 时，有 g(0)
61、1b4b2b1b0.yg(x)在(0，2b)内存在零点，又 yg(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0，)上单调递增，yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点故当 b1 时，yg(x)在 R 上有两个零点，则曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点综上可知，如果曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是(1，).思想方法1在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2利用导数方法证明不等式 f(x)g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)f(x)g(x
62、)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口3利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力4对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决这类问题求解的通法是(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况进而求解易错防范 实际问题中的函数
63、定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014湖南卷)若 0 x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2解析 令 f(x)exx，则 f(x)（ex）xxexx2ex（x1）x2.当 0 x1 时，f(x)0，即 f(x)在(0，1)上单调递减，0 x1x21，f(x2)f(x1)，x2ex1x1ex2，故选 C.答案 C2(2015泸州一
64、模)做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A3 B4 C6 D5解析 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 l，则 VR2l27，l27R2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和 S 最小，由题意，SR22RlR2227R，S2R54R2，令 S0，得 R3，则当 R3 时，S 最小故选 A.答案 A3(2015洛阳统考)若函数 f(x)2x39x212xa 恰好有两个不同的零点，则 a可能的值为()A4 B6 C7 D8解析 由题意得 f(x)6x218x126(x1)(x2)，由 f(x)0 得 x1 或 x2，由 f(x)0 得 1x2，
65、所以函数 f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，从而可知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1)，f(2)，若欲使函数 f(x)恰好有两个不同的零点，则需使 f(1)0 或 f(2)0，解得 a5 或 a4，而选项中只给出了 4，所以选 A.答案 A4设函数 f(x)的定义域为 R，x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0 是 f(x)的极小值点Cx0 是f(x)的极小值点Dx0 是f(x)的极小值点解析 A 错，因为极大值未必是最大值；B 错，因为函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称，x0
66、应是 f(x)的极大值点；C 错，函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于 x 轴对称，x0 应为f(x)的极小值点；D 正确，函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称，x0 应为 yf(x)的极小值点答案 D5(2014新课标全国卷)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)解析 a0 时，不符合题意a0 时，f(x)3ax26x，令 f(x)0，得 x0 或 x2a.若 a0，则由图象知 f(x)有负数零点，不符合题意 则 a0，由图象结合 f(0)10 知，此时必有 f 2a
67、 0，即 a 8a33 4a210，化简得 a24，又 a0，所以 a2，故选 C.答案 C二、填空题6(2014唐山模拟)已知 a0，函数 f(x)x3ax2bxc 在区间2，2上单调递减，则 4ab 的最大值为_解析 f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，函数 f(x)在区间2，2上单调递减，f（2）0，f（2）0，即4ab12，4ab12，即 4ab12，4ab 的最大值为12.答案 127(2015开封一模)已知函数 f(x)ax33x1 对 x(0，1总有 f(x)0 成立，则实数 a 的取值范围是_解析 当 x(0，1时不等式 ax33x10 可化为 a3x1x3，设
68、g(x)3x1x3，x(0，1，g(x)3x3（3x1）3x2x66x12x4.g(x)与 g(x)随 x 的变化情况如下表：x0，121212，1 g(x)0g(x)极大值 4 因此 g(x)的最大值为 4，则实数 a 的取值范围是4，)答案 4，)8已知函数 f(x)x3ax24 在 x2 处取得极值，若 m，n1，1，则 f(m)f(n)的最小值是_解析 对函数 f(x)求导得 f(x)3x22ax，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342a20，a3.由此可得 f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知 f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，当
69、 m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x 的图象开口向下，且对称轴为 x1，当 n1，1时，f(n)minf(1)9.故 f(m)f(n)的最小值为13.答案 13三、解答题9(2014青岛一模)设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1.(1)解 由 f(x)ex2x2a，xR，知 f(x)ex2，xR.令 f(x)0，得 xln 2.于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故 f
70、(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明 设 g(x)exx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当 aln 21 时，g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意 xR，都有 g(x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，都有 g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1.10(2015太原
71、模拟)已知函数 f(x)(2a)x2(1ln x)a，g(x)exex，(1)若函数 f(x)在区间0，12 上无零点，求实数 a 的最小值；(2)若对任意给定的 x0(0，e，在(0，e上方程 f(x)g(x0)总存在两个不等的实根，求实数 a 的取值范围解 f(x)(2a)(x1)2ln x，(1)令 m(x)(2a)(x1)，x0；h(x)2ln x，x0，则 f(x)m(x)h(x)，当 a2 时，m(x)在0，12 上为增函数，h(x)在0，12 上为增函数，若 f(x)在0，12 上无零点，则 m12 h12，即(2a)121 2ln 12，a24ln 2，24ln 2a2，当 a
72、2 时，在0，12 上 m(x)0，h(x)0，f(x)0，f(x)在0，12 上无零点由得 a24ln 2，amin24ln 2.(2)g(x)e1xxe1x(1x)e1x，当 x(0，1)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 x(1，e时，g(x)0，函数 g(x)单调递减，又 g(0)0，g(1)1，g(e)e2e0，函数 g(x)在(0，e上的值域为(0，1方程 f(x)g(x0)等价于(2a)(x1)g(x0)2ln x，令 p(x)(2a)(x1)g(x0)，则 p(x)过定点(1，g(x0)，且1g(x0)0，令 t(x)2ln x，由 p(x)，t(x)的图象可知，要使方
73、程 f(x)g(x0)在(0，e上总存在两个不相等的实根，需使a2，p（e）t（e）在(0，e上恒成立，即(2a)(e1)g(x0)2ln e2，a22g（x0）e1，0g(x0)1，22g（x0）e1min2 3e1，a2 3e1.综上所述，a 的取值范围为，2 3e1.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11已知 yf(x)是奇函数，当 x(0，2)时，f(x)ln xaxa12，当 x(2，0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 等于()A.14B.13C.12D1解析 f(x)是奇函数，f(x)在(0，2)上的最大值为1.当 x(0，2)时，f(x)1xa，令 f(x)0 得 x1a，
74、又 a12，01a2.当 x1a时，f(x)0，f(x)在0，1a 上单调递增；当 x1a时，f(x)0，f(x)在1a，2 上单调递减，f(x)maxf 1a ln 1aa1a1，解得 a1.答案 D12(2014大连模拟)已知函数 f(x)x3ax2xc(xR)，下列结论错误的是()A函数 f(x)一定存在极大值和极小值B若函数 f(x)在(，x1)，(x2，)上是增函数，则 x2x12 33C函数 f(x)的图象是中心对称图形D函数 f(x)一定存在三个零点解析 对于 A，f(x)3x22ax1，4a2120，因此函数 f(x)3x22ax1 恒有两个相异零点 x3，x4(其中 x3x4
75、)，易知函数 f(x)的递增区间是(，x3)与(x4，)，递减区间是(x3，x4)，函数 f(x)一定存在极大值与极小值，选项 A 正确对于 B，由 A 知，x3x42a3，x3x413，则 x4x3（x3x4）24x3x42a32432 33，又 x1x3，x4x2，因此 x2x1x4x32 33，选项 B 正确对于 C，函数 f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为 yx3nx 的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数 f(x)的图象是中心对称图形，所以 C 正确对于 D，取 ac1，得 f(x)x3x2
76、x1(x1)2(x1)，此时函数 f(x)仅有两个相异零点，因此选项 D不正确综上所述，选 D.答案 D13(2014辽宁卷改编)当 x2，1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析 由题意知x2，1都有 ax3x24x30，即 ax3x24x3 在x2，1上恒成立 当 x0 时，ax3x24x30 变为 30 恒成立，即 aR.当 0 x1 时，ax24x3x33x34x21x.令 t1x(t1)，g(t)3t34t2t，因为 g(t)9t28t10(t1)，所以 g(t)在1，)上单调递减，g(t)maxg(1)6(t1)，所以 a6.当2x0 时，a3x34
77、x21x，同理，g(t)在(，1上递减，在1，12 上递增 因此 g(t)ming(1)2t12，所以 a2.综上，6a2.答案 6，214(2014四川卷)已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.(1)解 由 f(x)exax2bx1，有 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.当 x0，1时，g(x)12a，e2a，当 a12时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递
78、增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2
79、ab.(2)证明 设 x0 为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知 f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1，同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2，所以 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，所以12ae2.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(l
80、n(2a)，1上单调递增，因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有 g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe12，有 g(0)ae20，g(1)1a0，解得 e2a1.所以函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.第 4 讲 定积分与微积分基本定理最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义知 识 梳 理1用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限2定积分的定义如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成
81、 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i1，2，n)，作和式 ni1f(i)x ni1banf(i)，当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx3定积分的运算性质(1)abkf(x)dxkabf(x)dx(k 为常数)(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx(3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(ac0.()(2)若 f(x)是偶函数，则aa f(x)dx20af(x)dx.()(3)若 f(x)是奇函数，则aa f(x)dx0.()(4)曲线 yx2 与
82、yx 所围成的面积是01(x2x)dx.()2(2014陕西卷)定积分01(2xex)dx 的值为()Ae2 Be1Ce De1解析 01(2xex)dx(x2ex)|101e11e.故选 C.答案 C3(2014山东卷)直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 2B4 2C2 D4解析 如图，y4x 与 yx3 的交点 A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积 S 阴02(4xx3)dx2x214x420 814244，故选 D.答案 D4(人教 A 选修 22P60A6 改编)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 251
83、t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 2解析 令 v(t)0，得 t4 或 t83(舍去)，汽车行驶距离 s0473t 251t dt 7t32t225ln（1t）40 282425ln 5425ln 5(m)答案 C5(2013湖南卷)若0Tx2dx9，则常数 T 的值为_解析 0Tx2dx13x3 T013T39.T327，T3.答案 3考点一 定积分的计算【例 1】(1)设 f(x)x2，x0，1，2x，x（1，2，则02f(x)dx 等于()A.34B.45C.
84、56D不存在(2)定积分03 9x2dx 的值为_(3)11 e|x|dx_解析(1)如图，02f(x)dx01x2dx12(2x)dx 13x3|102x12x2|211342212 56.(2)由定积分的几何意义知，03 9x2dx 是由曲线 y9x2，直线 x0，x3，y0 围成的封闭图形的面积故03 9x2dx32494.(3)11 e|x|dx201e|x|dx201exdx2ex|102e2.答案(1)C(2)94 (3)2e2规律方法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间
85、分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分(3)若 yf(x)为奇函数，则aa f(x)dx0.若 f(x)为偶函数，则aa f(x)dx20af(x)dx.【训练 1】(1)定积分11(x2sin x)dx_(2)定积分02|x1|dx_解析(1)11(x2sin x)dx 11 x2dx11 sin xdx 201x2dx2x33|1023.(2)法一 02|x1|dx01|x1|dx12|x1|dx 01(1x)dx12(x1)dx xx2210 x22x21 112 222 2 121 1.法二 由定积分的几何意义知所求定积分是图中阴影部分的
86、面积，易知面积 S12121.答案(1)23(2)1考点二 利用定积分求平面图形面积【例 2】如图所示，求由抛物线 yx24x3 及其在点 A(0，3)和点 B(3，0)处的切线所围成图形的面积解 由题意，知抛物线 yx24x3 在点 A 处的切线斜率是 k1y|x04，在点 B 处的切线斜率是 k2y|x32.因此，抛物线过点 A 的切线方程为y4x3，过点 B 的切线方程为 y2x6.设两切线相交于点 M，由y4x3，y2x6消去 y，得 x32，即点 M 的横坐标为32.在区间0，32 上，直线 y4x3 在曲线 yx24x3 的上方；在区间32，3上，直线 y2x6 在曲线 yx24x
87、3 的上方因此，所求的图形的面积是989894.规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正【训练 2】(1)如图所示，曲线 yx2 和直线 x0，x1 及 y14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.23B.13C.12D.14(2)曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则k_解析(
88、1)由 x214，得 x12或 x12(舍)，则阴影部分的面积为S14x2 dxx214 dx14.(2)由yx2，ykx，得x0，y0或xk，yk2，则曲线 yx2 与直线 ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kxx2)dxk2x213x3k0k3213k343，即 k38，解得 k2.答案(1)D(2)2考点三 定积分在物理中的应用【例 3】一物体作变速直线运动，其 vt 曲线如图所示，则该物体在12 s6 s 间的运动路程为_解析 由图可知，v(t)2t （0t1），2 （1t3），13t1 （3t6）.由变速直线运动的路程公式，可得 所以物体在12 s6 s 间的运动路程是49
89、4 m.答案 494 m规律方法 定积分在物理中的两个应用：(1)求物体做变速直线运动的位移，如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 sabv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WabF(x)dx.【训练 3】设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10，已知 F(x)x21 的方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J(x 的单位：m，力的单位：N)解析 由题意知变力 F(x)对质点 M
90、所做的功为 110(x21)dx13x3x 101 342(J)答案 342思想方法1求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数 f(x)的一个原函数F(x)；计算 F(b)F(a)(3)利用定积分的几何意义求定积分2求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和(4)计算定积分易错防范1被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变
91、量3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.基础巩固题组(建议用时：35 分钟)一、选择题1(2014济南质检)由直线 x3，x3，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为()A.12B1 C.32D.3解析 由题意知 32 32 3.答案 D2若1a2x1x dx3ln 2(a1)，则 a 的值是()A2 B3 C4 D6解析 1a2x1x dx(x2ln x)a1a2ln a1，a2ln a13ln 2，则 a2.答案 A3(2013
92、江西卷)若 S112x2dx，S2121xdx，S312exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S20，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a_ 答案 497.如图所示，函数 yx22x1 与 y1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_解析 由yx22x1，y1，得 x10，x22.S02(x22x11)dx02(x22x)dx 答案 438汽车以 v3t2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是_ m.3244322 107213
93、2(m)答案 6.5三、解答题9已知 f(x)在 R 上可导，f(x)x22f(2)x3，试求03f(x)dx 的值解 f(x)x22f(2)x3，f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)，f(2)4，f(x)x28x3.03f(x)dx13x34x23x 3018.10求曲线 yx2，直线 yx，y3x 围成的图形的面积解 作出曲线 yx2，直线 yx，y3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组yx2，yx，得交点(1，1)，解方程组yx2，y3x，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S01(3xx)dx13(3xx2)dx012xdx13(3xx2)dxx210 32x2
94、13x331132321333 32121313133.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11(2014湖北卷)若函数 f(x)，g(x)满足11 f(x)g(x)dx0，则称 f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sin12x，g(x)cos12x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3中 f(x)g(x)x3 为奇函数，在1，1上的积分为 0，故满足条件答案 C12(2014江西卷)若 f(x)x2201 f(x)dx，则01 f(x)dx()A1 B13C.13D1解析 由题意知
95、 f(x)x2201f(x)dx，设 m01f(x)dx，f(x)x22m，01f(x)dx01(x22m)dx13x32mx 10 132mm，m13.答案 B13.11(1x2x)dx_解析 11(1x2x)dx111x2dx11 xdx，根据积分的几何意义可知111x2dx 等于半径为 1 的半圆的面积，即111x2dx2，11 xdx12x2|110，11(1x2x)dx2.答案 214在区间0，1上给定曲线 yx2.试在此区间内确定点 t 的值，使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小，并求最小值解 S1 面积等于边长分别为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 yx2 与 x
96、轴、直线 xt 所围成的面积，即S1tt20tx2dx23t3.S2 的面积等于曲线 yx2 与 x 轴，xt，x1 围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1t 面积，即 S2t1x2dxt2(1t)23t3t213.所以阴影部分的面积 S(t)S1S243t3t213(0t1)令 S(t)4t22t4tt12 0，得 t0 或 t12.t0 时，S(t)13；t12时，S(t)14；t1 时，S(t)23.所以当 t12时，S(t)最小，且最小值为14.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其
97、他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题；函数的单调性、极值、最值均是高考命题的重点内容，在选择、填空、解答题中都有涉及，试题难度不大运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置已经被概率解答题占据，所以在历年高考题中很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现另外，在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用等，且难度往往较大 热点一 利用导数研究
98、函数的单调性问题函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数 f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数 f(x)的单调性或求单调区间；(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围【例 1】(12 分)(2015济南模拟)已知函数 f(x)x2eax，aR.(1)当 a1 时，求函数 yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程(2)讨论 f(x)的单调性解(1)因为当 a1 时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以 f(1)e，f(1)3e.从而 yf(x)的
99、图象在点(1，f(1)处的切线方程为 ye3e(x1)，即 y3ex2e.(5 分)(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当 a0 时，若 x0，则 f(x)0，若 x0，则 f(x)0.所以当 a0 时，函数 f(x)在区间(，0)上为减函数，在区间(0，)上为增函数(7 分)当 a0 时，由 2xax20，解得 x0 或 x2a，由 2xax20，解得 0 x2a.所以当 a0 时，函数 f(x)在区间(，0)，2a，上为减函数，在区间0，2a 上为增函数(9 分)当 a0 时，由 2xax20，解得2ax0，由 2xax20，解得 x2a或 x0.所以，当 a0 时，
100、函数 f(x)在区间，2a，(0，)上为增函数，在区间2a，0 上为减函数(11 分)综上所述，当 a0 时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)在(，0)，2a，上单调递减，在0，2a 上单调递增；当 a0 时，f(x)在2a，0 上单调递减，在，2a，(0，)上单调递增(12分)构建模板 求含参函数 f(x)的单调区间的一般步骤第一步：求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)第二步：求函数 f(x)的导数 f(x)第三步：根据 f(x)0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论 第四步：求解(令 f(x)0 或令 f(x)0)第五步：下结论
101、探究提高(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断 f(x)的符号问题上，而 f(x)0 或 f(x)0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小(2)若已知 f(x)的单调性，则转化为不等式 f(x)0 或f(x)0 在单调区间上恒
102、成立问题【训练 1】已知函数 f(x)exln xaex(a0)(1)若函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线 xey10 垂直，求实数a 的值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数 a 的取值范围解(1)f(x)exln xex1xaex(1xaln x)ex(x0)，f(1)(1a)e，由(1a)e1e1 得 a2.(2)由(1)知 f(x)(1xaln x)ex(x0)，若 f(x)在(0，)上为单调递减函数，则 f(x)0 在(0，)上恒成立，即1xaln x0，所以 a1xln x.令 g(x)1xln x(x0)，则 g(x)1x21xx1x2(x
103、0)，由 g(x)0 得 x1，故 g(x)在(0，1上为单调递减函数，在1，)上为单调递增函数，此时 g(x)有最小值为 g(1)1，但 g(x)无最大值故 f(x)不可能是单调递减函数若 f(x)在(0，)上为单调递增函数，则 f(x)0 在(0，)上恒成立，即1xaln x0，所以 a1xln x，由上述推理可知此时 a1.故 a 的取值范围是(，1热点二 利用导数研究函数的极值、最值问题用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才
104、是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念【例 2】已知函数 f(x)(ax2bxc)ex 在0，1上单调递减且满足 f(0)1，f(1)0.(1)求 a 的取值范围(2)设 g(x)f(x)f(x)，求 g(x)在0，1上的最大值和最小值解(1)由 f(0)1，f(1)0，得 c1，ab1，则 f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意对于任意 x0，1，有 f(x)0.当 a0 时，因为二次函数 yax2(a1)xa 的图象开口向上，而 f(0)a0，所以需 f(1)(a1)e0，即 0a1；当 a1 时，对于
105、任意 x0，1，有 f(x)(x21)ex0，且只在 x1 时 f(x)0，f(x)符合条件；当 a0 时，对于任意 x0，1，f(x)xex0，且只在 x0 时，f(x)0，f(x)符合条件；当 a0 时，因 f(0)a0，f(x)不符合条件故 a 的取值范围为 0a1.(2)因 g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当 a0 时，g(x)ex0，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1，在 x1 处取得最大值 g(1)e.当 a1 时，对于任意 x0，1有 g(x)2xex0，g(x)在 x0 处取得最大值 g(0)2，在 x1 处取得最小值 g(1)0.当 0a1 时
106、，由 g(x)0 得 x1a2a 0.若1a2a 1，即 0a13时，g(x)在0，1上单调递增，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1a，在 x1 处取得最大值 g(1)(1a)e.若1a2a 1，即13a1 时，g(x)在 x1a2a 处取得最大值 g1a2a2ae1a2a，在 x0 或 x1 处取得最小值，而 g(0)1a，g(1)(1a)e，由 g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得 ae1e1.则当13ae1e1时，g(0)g(1)0，g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1a；当e1e1a1 时，g(0)g(1)0，g(x)在 x1 处取得最小值 g(1)(1a)
107、e.探究提高 含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析另外，最值在两点处都有可能取到时，应作差比较两函数值的大小【训练 2】(2013福建卷)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值解 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.(1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因而 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20.
108、(2)由 f(x)1axxax，x0 知：当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时，f(x)0；当 x(a，)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即 f(x)g(a)对于 xD恒成立，应求 f(x)的最小值；若存在
109、 xD，使得 f(x)g(a)成立，应求 f(x)的最大值在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错【例 3】(2014陕西卷节选)设函数 f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是 f(x)的导函数(1)令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求 gn(x)的表达式(不需证明)；(2)若 f(x)ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围解 由题设得，g(x)x1x(x0)(1)由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g
110、1(x)x1x1 x1xx12x，g3(x)x13x，可得 gn(x)x1nx.(2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x)ax1x恒成立设(x)ln(1x)ax1x(x0)，则(x)11xa（1x）2 x1a（1x）2，当 a1 时，(x)0(仅当 x0，a1 时等号成立)，(x)在0，)上单调递增又(0)0，(x)0 在0，)上恒成立，a1 时，ln(1x)ax1x恒成立(仅当 x0 时等号成立)当 a1 时，对 x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1 时，存在 x0，使(x)1 时，判断 f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意，可知
111、f(x)exm1，令 f(x)0，得 xm.故当 x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增故当 xm 时，f(m)为极小值也是最小值令 f(m)1m0，得 m1，即对任意 xR，f(x)0 恒成立时，m 的取值范围是(，1(2)当 m1 时，f(m)1m0，f(0)f(m)1 时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即 f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点故 f(x)在0，2m上有两个零点4(2014北京卷)已知函数 f(x)xcos xsin x，x0，2.(1)求证：f(x)0；(2)若 asin
112、xx b 对 x0，2 恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值(1)证明 由 f(x)xcos xsin x，得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间0，2 上 f(x)xsin x0，所以 f(x)在区间0，2 上单调递减从而 f(x)f(0)0.(2)解 当 x0 时，“sin xx a”等价于“sin xax0”；“sin xx b”等价于“sin xbx0”令 g(x)sin xcx，则 g(x)cos xc.当 c0 时，g(x)0 对任意 x0，2 恒成立当 c1 时，因为对任意 x0，2，g(x)cos xc0，所以 g(x)在区间0，2 上单调递减从
113、而 g(x)g(0)0 对任意 x0，2 恒成立当 0c1 时，存在唯一的 x00，2 使得 g(x0)cos x0c0.于是，当 x 变化时，g(x)，g(x)在区间0，2 的变化情况如下：x(0，x0)x0 x0，2 g(x)0g(x)极大值 因为 g(x)在区间0，x0上是增函数，所以 g(x0)g(0)0.进一步，“g(x)0 对任意 x0，2 恒成立”当且仅当 g2 12 c0，即 0c 2.综上所述，当且仅当 c 2时，g(x)0 对任意 x0，2 恒成立；当且仅当 c1时，g(x)0 对任意 x0，2 恒成立所以，若 asin xx b 对任意 x0，2 恒成立，则 a 的最大值
114、为 2，b 的最小值为 1.5已知函数 f(x)13x3x2(m21)x(xR)，其中 m0.(1)当 m2 时，求曲线 yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)若 yf(x)在32，上存在单调递增区间，求 m 的取值范围；(3)已知函数 yf(x)有三个互不相同的零点 0，x1，x2，且 x1x2，若对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，求 m 的取值范围解(1)m2 时，f(x)13x3x23x，f(x)x22x3，切线斜率 kf(3)0，又 f(3)9，切线方程为 y9.(2)f(x)x22xm21，其对称轴为 x1，则 f(x)在(1，)单调递减，由条件知 f32 0，
115、m214，又 m0，m12.(3)f(x)13(x0)(xx1)(xx2)，x1，x2 为方程13x2xm210 的两根，x1x23，且 0，结合 m0，解得 m12.x1x2，x232，下面讨论 x1 与 1.若 x11x2 时，即 1x1，x2，则 f(1)13(10)(1x1)(1x2)，f(1)0，而 f(x1)0，与条件矛盾若 1x1x2，则对xx1，x2，f(x)13x(xx1)(xx2)0，又 f(x1)0，f(x)在x1，x2上的最小值为 0.又 f(x)f(1)恒成立，f(x)minf(1)，即 0f(1)，m2130 33 m 33.由知，m 的取值范围为12，33.6(2
116、015晋中模拟)已知函数 f(x)12ax2(2a1)x2ln x(aR)(1)若曲线 yf(x)在 x1 和 x3 处的切线互相平行，求 a 的值；(2)求 f(x)的单调区间；(3)设 g(x)x22x，若对任意 x1(0，2，均存在 x2(0，2，使得 f(x1)g(x2)，求 a 的取值范围解 f(x)ax(2a1)2x(x0)(1)由题意知 f(1)f(3)，即 a(2a1)23a(2a1)23，解得 a23.(2)f(x)（ax1）（x2）x(x0)当 a0 时，x0，ax10，在区间(0，2)上，f(x)0；在区间(2，)上，f(x)0，故 f(x)的单调递增区间是(0，2)，单
117、调递减区间是(2，)当 0a12时，1a2，在区间(0，2)和1a，上，f(x)0；在区间2，1a上，f(x)0，故 f(x)的单调递增区间是(0，2)和1a，单调递减区间是2，1a.当 a12时，f(x)（x2）22x0，故 f(x)的单调递增区间是(0，)当 a12时，01a2，在区间0，1a 和(2，)上，f(x)0；在区间1a，2上，f(x)0，故 f(x)的单调递增区间是0，1a 和(2，)，单调递减区间是1a，2.(3)由题意知，在(0，2上有 f(x)maxg(x)max.由已知得 g(x)max0，由(2)可知，当 a12时，f(x)在(0，2上单调递增，故 f(x)maxf(
118、2)2a2(2a1)2ln 22a22ln 2，所以2a22ln 20，解得 aln 21，故 ln 21a12.当 a12时，f(x)在0，1a 上单调递增；在1a，2 上单调递减，故 f(x)maxf 1a 2 12a2ln a.由 a12可知 ln aln 12ln 1e1，所以 2ln a2，即2ln a2，所以，22ln a0，所以 f(x)max0，综上所述，aln 21.阶段回扣练 3 导数及其应用(建议用时：90 分钟)一、选择题1已知曲线 yx243ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A3 B2C1 D.12解析 由题意 yx23x，设切点 P(x0，y0)
119、，x00，则x023x012，解得 x03或 x02(舍)，故选 A.答案 A2(2015南昌模拟)曲线 yx2ln x 在点(1，1)处的切线方程为()A3xy20 Bx3y20C3xy40 Dx3y40解析 y2x1x，故 y|x13，故在点(1，1)处的切线方程为 y13(x1)，化简整理得 3xy20.答案 A3若函数 f(x)x2ax1 在 x1 处取极值，则 a()A1 B2C3 D4解析 f(x)x2ax1（x2a）（x1）（x2a）（x1）（x1）2x22xa（x1）2，x1 为函数的极值点，f(1)0，即 121a0，解得 a3，故选 C.答案 C4函数 f(x)xex，ab
120、1，则()Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Cf(a)f(b)Df(a)，f(b)大小关系不能确定解析 f(x)xex，所以 f(x)exxexe2xx1ex，当 x1 时，f(x)0，所以函数 f(x)xex在(，1)上是减函数，又 ab1，故 f(a)f(b)答案 C5函数 f(x)mx3x 在(，)上是减函数，则 m 的取值范围是()A(，0)B(，1)C(，0 D(，1解析 由题意知，f(x)3mx210 在(，)上恒成立，x0 时，10 恒成立，即 mR；x0 时，有 m 13x2在 R 上恒成立，13x20，m0，综上 m0，故选 C.答案 C6设函数 f(x)在定义域内可导，y
121、f(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是()解析 如图所示，当 x(，x0)时，函数 f(x)为增函数，当 x(x0，0)和 x(0，)时，函数 f(x)为减函数，xx0是函数 f(x)的极大值点，可得 f(x0)0，且当 x(，x0)时，f(x)0，当 x(x0，0)和 x(0，)时，f(x)0.由此对照各个选项，可得函数 yf(x)的图象只有 A 项符合 答案 A7用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多 0.5 m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为()A0.5 m B0.7 m C1 m D1.5 m解析 设容器底面的宽为 x m，则长为
122、(x0.5)m，高为(3.22x)m.由 3.22x0 和 x0，得 0 x1.6.设容器的容积为 y m3，则有 yx(x0.5)(3.22x)，其中 0 x1.6，整理得 y2x32.2x21.6x，所以 y6x24.4x1.6.令 y0，得 x1.从而在定义域(0，1.6)内只有当 x1 时 y 取得最大值，即容器底面的宽为 1 m 时，容器的容积最大 答案 C8(2015青岛一模)已知函数 f(x)x3bx2cx 的图象如图所示，则 x21x22等于()A.23B.43C.83D.163解析 由题图可知 f(1)0，f(2)0，1bc0，84b2c0，解得b3，c2.f(x)x33x2
123、2x，f(x)3x26x2.由图可知 x1，x2 为 f(x)的极值点，x1x22，x1x223.x21x22(x1x2)22x1x244383.答案 C9函数 f(x)的定义域是 R，f(0)2，对任意 xR，f(x)f(x)1，则不等式 exf(x)ex1 的解集为()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 或 x1 Dx|x1 或 0 x1解析 构造函数 g(x)exf(x)ex.因为 g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以 g(x)exf(x)ex 为 R 上的增函数因为 g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为 g(x)g(0)，解得 x0.答案
124、 A10(2014石家庄模拟)若不等式 2xln xx2ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，0)B(，4C(0，)D4，)解析 2xln xx2ax3，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)（x3）（x1）x2.当 x(0，1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递减；当 x(1，)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4.所以 ah(x)min4.故 a 的取值范围是(，4 答案 B二、填空题11已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(e)ln x，则 f(e)_解析 f(x)
125、2f(e)1x，取 xe，得 f(e)2f(e)1e，由此解得 f(e)1ee1.答案 e112已知 212(kx1)dx4，则实数 k 的取值范围是_ 232k14，23k2.答案 23，213设 f(x)ln xa，若 f(x)x2 在 x(1，)上恒成立，则实数 a 的范围为_解析 函数 f(x)ln xa，且 f(x)x2 在(1，)上恒成立，函数 f(x)ln xax2 在(1，)上恒成立，aln xx2.令 h(x)ln xx2，有 h(x)1x2x.x1，1x2x0，h(x)在(1，)上为减函数，当 x(1，)时，h(x)h(1)1，a1.答案 1，)14已知函数 f(x)的定义
126、域为1，5，部分对应值如下表：x1045f(x)1221 f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示下列关于 f(x)的命题：函数 f(x)的极大值点为 0，4；函数 f(x)在区间0，2上是减函数；如果当 x1，t时，f(x)的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；当 1a2 时，函数 yf(x)a 有 4 个零点其中真命题的序号是_解析 由导函数的图象得：为真命题；为真命题，因为在区间0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当 t5，x1，t时，f(x)的最大值是 2；为假命题，当 1a2 时，yf(x)a 可以有 2 个零点，可以有 3个零点，也可以有 4 个零点综上，真命题只有.
127、答案 15设函数 f(x)e2x21x，g(x)e2xex，对任意 x1，x2(0，)，不等式g（x1）kf（x2）k1 恒成立，则正数 k 的取值范围是_解析 因为对任意 x1，x2(0，)，不等式g（x1）kf（x2）k1 恒成立，所以 kk1g（x1）maxf（x2）min.因为 g(x)e2xex xe2x，所以 g(x)(xe2x)e2xxe2x(1)e2x(1x)当 0 x0；当 x1 时，g(x)0)当且仅当 e2x1x，即 x1e时取等号，故 f(x)min2e.所以g（x1）maxf（x2）min e2e12，应有 kk112，又 k0，所以 k1.答案 1，)三、解答题16
128、已知 f(x)ax2(a2)xln x.(1)a1 时，求 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程(2)当 a0 时，若 f(x)在区间1，e上最小值为2，求实数 a 的范围解(1)当 a1 时，f(x)x23xln x，f(x)2x31x.因为 f(1)0，f(1)2，所以曲线 yf(x)在点(1，2)处的切线方程是 y2.(2)函数 f(x)ax2(a2)xln x 的定义域是(0，)当 a0 时，f(x)2ax(a2)1x2ax2（a2）x1x，令 f(x)2ax2（a2）x1x（2x1）（ax1）x0，所以 x12或 x1a.当 01a1，即 a1 时，f(x)在1，e上单调递增，所以
129、 f(x)在1，e上的最小值是 f(1)2；当 11ae 时，f(x)在1，e上的最小值 f 1a f(1)2，不合题意；当1ae 时，f(x)在1，e上单调递减，此时 f(x)在1，e上的最小值 f(e)f(1)2，不合题意综上，实数 a 的取值范围为1，)17(2015天津模拟)已知函数 f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)求 f(x)的单调区间与极值(2)若函数在区间(1，)上单调递减，求实数 a 的取值范围解(1)函数 f(x)ln xa2x2ax 的定义域为(0，)，f(x)1x2a2xa2a2x2ax1x（2ax1）（ax1）x.()当 a0 时，f(x)1x0，所以 f(x
130、)的单调递增区间为(0，)，此时 f(x)无极值()当 a0 时，令 f(x)0，得 x1a或 x 12a(舍去)f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，所以 f(x)有极大值为 f 1a ln a，无极小值()当 a0 时，令 f(x)0，得 x1a(舍去)或 x 12a，所以 f(x)的单调递增区间为0，12a，单调递减区间为 12a，所以 f(x)有极大值为 f 12a ln 12a 34ln(2a)34，无极小值(2)由(1)可知：()当 a0 时，f(x)在区间(1，)上单调递增，不合题意()当 a0 时，f(x)的单调递减区间为1a，依题意，得1a1，a0，得 a1.
131、()当 a0 时，f(x)的单调递减区间为 12a，依题意，得 12a1，a0，即 a12.综上，实数 a 的取值范围是，12 1，)18已知函数 f(x)12x2aln x.(1)若 a1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若 a1，求函数 f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若 a1，求证：在区间1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)23x3 的图象的下方(1)解 由于函数 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)x1x（x1）（x1）x，令 f(x)0 得 x1 或 x1(舍去)，当 x(0，1)时，函数 f(x)单调递减，当 x(1，)时，
132、函数 f(x)单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值为12.(2)解 当 a1 时，易知函数 f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)12，f(x)maxf(e)12e21.(3)证明 设 F(x)f(x)g(x)12x2ln x23x3，则 F(x)x1x2x2（1x）（1x2x2）x，当 x1 时，F(x)0，故 f(x)在区间1，)上是减函数，又 F(1)160，在区间1，)上，F(x)0 恒成立即 f(x)g(x)恒成立因此，当 a1 时，在区间1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)图象的下方19已知函数 f(x)aln xbx(a，bR)的图象在点(1，f(
133、1)处的切线方程为 x2y20.(1)求 a，b 的值；(2)当 x1 时，f(x)kx0 恒成立，求实数 k 的取值范围；(3)证明：当 nN*，且 n2 时，12ln 2 13ln 3 1nln n3n2n22n22n.(1)解 f(x)aln xbx，f(x)axb.直线 x2y20 的斜率为12，且过点1，12，f（1）12，f（1）12，即b12，ab12，解得a1，b12.(2)解 法一 由(1)得 f(x)ln xx2.当 x1 时，f(x)kx0 恒成立，即 ln xx2kx0 恒成立，等价于 kx22xln x 恒成立令 g(x)x22xln x，则 g(x)x(ln x1)
134、x1ln x.令 h(x)x1ln x，则 h(x)11xx1x.当 x1 时，h(x)0，函数 h(x)在(1，)上单调递增，故 h(x)h(1)0.从而，当 x1 时，g(x)0，即函数 g(x)在(1，)上单调递增，故 g(x)g(1)12.又当 x1 时，kx22xln x 恒成立，故 k12.所求 k 的取值范围是，12.(3)证明 由(2)得，当 x1 时，ln xx2 12x0，即 xln xx212，又 xln x0，1xln x2x21 1x1 1x1.把 x2，3，4，n 分别代入上述不等式，并相加得，12ln 2 13ln 3 1nln n 113 1214 1315 1n21n 1n1 1n11121n 1n13n2n22n22n.
