1、第四篇 平面向量A第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算最新考纲1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义.知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注平行向量方向相同或相反的非零向量0 与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运
2、算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)平行四边形法则续表减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.辨 析 感 悟1对共线向量的理解(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同()(2)若 ab，bc，则 ac.(
3、)(3)(2013郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与 2ab 共线，则 12.()(4)(2013陕西卷改编)设 a，b 为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件()2对向量线性运算的应用(5)ABBCCDAD.()(6)(教材习题改编)在ABC 中，D 是 BC 的中点，则AD12(ACAB)()学生用书第 69 页感悟提升1一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上2两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；
4、二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一 平面向量的有关概念【例 1】给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中真命题的序号是_解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABDC，|AB|DC|且ABDC，又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC且|AB|DC|，因此，ABDC.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c 的长度相等且方向相
5、同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小【训练 1】设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若
6、 a与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.答案 D考点二 平面向量的线性运算例 2】如图，在平行四边形 OADB 中，设OAa，OBb，BM13 BC，CN13 CD.试用 a，b 表示OM，O N及MN.解 由题意知，在平行四边形 OADB 中，BM13B C16 B
7、A16(OAOB)16(ab)16a16b，则OMOBBMb16a16b16a56b.ON23 OD23(OAOB)23(ab)23a23b，MNONOM23(ab)16a56b12a16b.规律方法(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用【训练 2】(1)(2013四川卷)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD交于点 O，ABA
8、D AO，则 _.(2)(2013泉州模拟)已知 P，A，B，C 是平面内四点，且PAPBPCAC，那么一定有()A.PB2CPB.CP2PBC.AP2PBD.PB2AP解析(1)ABADAC2AO，2.(2)PAPBPCACPCPA，PB2PA2AP.答案(1)2(2)D考点三 向量共线定理及其应用【例 3】(2013郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线审题路线(1)由向量的加法，得BDBCCD用 a，b 表示BD得到BD与AB的关系式由向量共线定理，得BD
9、与AB共线再看是否有公共点得到证明的结论(2)假设存在实数 k利用向量共线定理列出方程根据 a，b 是两个不共线的向量得出方程组解得 k 值(1)证明 ABab，BC2a8b，CD3(ab)BDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB.AB，BD共线，又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)解 假设 kab 与 akb 共线，则存在实数，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a，b 是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a，
10、b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立，若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b 不共线.学生用书第 70 页【训练 3】(2014西安模拟)已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 同向，则实数 的值为_解析 由于 c 与 d 同向，所以 ckd(k0)，于是 abka(21)b，整理得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有k，2kk1，整理得 2210，所以 1 或 12.又因为 k0，所以 0，故 1.答案 11向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等
11、，可多记忆一些有关的结论2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式 ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置 方法优化 3准确把握平面向量的概念和运算【典例】(2012浙江卷)设 a，b 是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则 abB若 ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得 baD若存在实数，使得 ba，则|ab|a|b|一般解法(排除法)选项 A，若 ba，则等式|ab|a|b|成立，显然 ab不成立；选项 B，若 ab 且|a|b|，则|a|b|0，
12、显然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立；选项 D，若 ba，则|a|b|0，显然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立综上，A，B，D 都不正确，故选 C.优美解法(数量积法)把等式|ab|a|b|两边平方，得(ab)2(|a|b|)2，即 2ab2|a|b|，而 ab|a|b|cos，所以 cos1.又因为0，所以，即 a，b 为方向相反的共线向量故 C 正确反思感悟 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|ab|a|b|”在处理过程中误认为“|ab|ab|”，从而得到“ab”这个错误的结论【自主体验】在OAB 中，OAa，OBb，OD 是 AB 边上的高，若ADAB，则
13、实数()A.aab|ab|B.aba|ab|C.aab|ab|2D.aba|ab|2解析 由ADAB，|AD|AB|.又|AD|a|cos A|a|aab|a|ba|aab|ba|，|AB|ba|，aab|ba|2 aab|ab|2.故选 C.答案 C基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE解析 由图可知EFOFOE.答案 B2.(2014汕头二模)如图，在正六边形 ABCDEF 中，BACDEF等于()A0 B.BEC.ADD.CF解析 因为 ABCDEF 是正
14、六边形，故BACDEFDECDEFCEEFCF.答案 D3对于非零向量 a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 若 ab0，则 ab，所以 ab.若 ab，则 ab，ab0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件答案 A4(2014开封模拟)下列命题中，正确的是()A若|a|b|，则 ab 或 abB若 ab0，则 a0 或 b0C若 ka0，则 k0 或 a0D若 a，b 都是非零向量，则|ab|ab|解析 对于 A，显然不能得知 ab 或 ab，因此选项 A 不正确；对于 B，易知不正确；对于 C，易知正确；对于 D，注
15、意到(ab)2(ab)24ab，显然 ab与零的大小关系不确定，因此选项 D 不正确综上所述，选 C.答案 C5(2014兰州质检)若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 5AMAB3AC，则ABM 与ABC 的面积比为()A.15B.25C.35D.45解析 设 AB 的中点为 D，由 5AMAB3AC，得 3AM3AC2AD2AM，即 3CM2MD.如图所示，故 C，M，D 三点共线，且MD35CD，也就是ABM 与ABC 对于边 AB 的两高之比为 35，则ABM 与ABC的面积比为35，选 C.答案 C二、填空题6(2014湖州月考)给出下列命题：向量AB的长度与向量BA的长度相
16、等；向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量AB与向量CD是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上其中不正确命题的序号是_解析 中，向量AB与BA为相反向量，它们的长度相等，此命题正确中若 a 或 b 为零向量，则满足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不一定相同或相反，此命题错误由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误共线向量是方向相同或相反的向量，若AB与CD是共线向
17、量，则 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上，该命题错误答案 7在ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC，M 为 BC 的中点，则MN_(用a，b 表示)解析 由AN3NC，得 4AN3 AC3(ab)，AMa12b，所以MNANAM34(ab)a12b 14a14b.答案 14a14b8(2014泰安模拟)设 a，b 是两个不共线向量，AB2apb，BCab，CDa2b，若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为_解析 BDBCCD2ab，又 A，B，D 三点共线，存在实数，使ABBD.即22，p，p1.答案 1三、解答题9在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为
18、BE 上一点，且 GB2GE，设ABa，ACb，试用 a，b 表示AD，AG.解 AD12(ABAC)12a12b；AGABBGAB23BEAB13(BABC)23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b.10若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当 t 为何值时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上？解 设OAa，OBtb，OC13(ab)，ACOCOA23a13b，ABOBOAtba.要使 A，B，C 三点共线，只需ACAB.即23a13b(tba)tba.又a 与 b 为不共线的非零向量，有23，13t23，t12.当 t12时，三向量终点在同一
19、直线上能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2013济南一模)已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足OP1312OA12OB2OC，则点 P 一定为三角形 ABC 的()AAB 边中线的中点BAB 边中线的三等分点(非重心)C重心DAB 边的中点解析 设 AB 的中点为 M，则12OA12OBOM，OP13(OM2OC)13OM23OC，即 3OPOM2OC，也就是MP2PC，P，M，C 三点共线，且 P 是 CM上靠近 C 点的一个三等分点答案 B2在ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且与点 C 不重合，若AOx AB(1x)AC
20、，则实数 x 的取值范围是()A(，0)B(0，)C(1,0)D(0,1)解析 设BO BC(1)，则AOABBOAB BC(1)AB AC，又AOx AB(1x)AC，所以 x AB(1x)AC(1)AB AC.所以 1x1，得 x0.答案 A二、填空题3若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|OBOC|OBOC2OA|，则ABC 的形状为_解析 OBOC2OAOBOAOCOAABAC，OBOCCBABAC，|ABAC|ABAC|.故 A，B，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形答案 直角三角形三、解答题4.在ABC 中，E，F 分别为 AC，AB 的中点，BE 与 CF 相交于
21、 G 点，设ABa，ACb，试用 a，b 表示AG.解 AGABBGABBEAB2(BABC)12 AB2(ACAB)(1)AB2AC(1)a2b.又AGACCGACm CFACm2(CACB)(1m)ACm2ABm2a(1m)b，1m2，1m2，解得 m23，AG13a13b.学生用书第 70 页第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意
22、向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.辨 析 感 悟1对平
23、面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()(3)(2013广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a0.关于向量 a 的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：给定向量 b，总存在向量 c，使 abc.()给定向量 b 和 c，总存在实数 和，使 abc；()给定单位向量 b 和正数，总存在单位向量 c 和实数，使 abc；()给定正数 和，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 abc.()2平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点 A(2,1)，B(1,3)，则AB(3,2)()(5)若
24、a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(6)(2013湘潭调研改编)已知向量 a(4，x)，b(4,4)，若 ab，则 x 的值为4.()感悟提升1向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1OA(x，y)，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化2两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线
25、的，如(1)二是注意运用两个向量 a，b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2x2y10，如(5).考点一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AMc，ANd，试用 c，d 表示AB，AD.解 法一 设ABa，ADb，则 aANNBd12b，bAMMDc12a.将代入，得 ad12 c12a，a43d23c23(2dc)，将代入，得 bc12 23(2dc)23(2cd)AB23(2dc)，AD23(2cd)法二 设ABa，ADb.因 M，N 分别为 CD，BC 的中点，所以BN12b，DM12a，因而cb12a，da12b
26、a232dc，b232cd，即AB23(2dc)，AD23(2cd)规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【训练 1】在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点，若 A BAMAN，则()A.15B.25C.35D.45解析 因为ABANNBANCNAN(CAAN)2ANCMMA2AN14ABAM，所以AB85AN45AM，所以 45.答案 D考点二 平面向量的坐标运算【
27、例 2】已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设ABa，BCb，CAc，且CM3c，CN2b.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN的坐标解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.(3)设 O 为坐标原点，CMOMOC3c，OM3cOC(3,24)(3，4)(0,20)，M 的坐标为(0,20)又CNONOC2b，ON2bOC(12,6)(3，4
28、)(9,2)，N 的坐标为(9,2)，MN(90,220)(9，18)规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用【训练 2】(1)已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)学生用书第 72 页(2)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)解析(1)12a12，12，32b32，32，故12a32b(1,2)(2
29、)由题意得BDADABBCAB(ACAB)ABAC2AB(1,3)2(2,4)(3，5)答案(1)D(2)B考点三 平面向量共线的坐标表示【例 3】平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数 k；(2)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|5，求 d 的坐标审题路线(1)分别求出(akc)与(2ba)的坐标利用向量平行的充要条件列方程解关于 k 的方程；(2)设 d 的坐标根据已知条件列出方程组解方程组，得到 d 的坐标解(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得 2(34k)(5)(2k)0，解得 k1613.(2)设 d
30、(x，y)，则 dc(x4，y1)，又 ab(2,4)，|dc|5，4x42y10，x42y125，解得x3，y1 或x5，y3.d 的坐标为(3，1)或(5,3)规律方法 ab 的充要条件有两种表达方式：(1)ab(b0)ab(R)；(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件 b0，而第(2)种无 b0 限制【训练 3】(1)(2014衡水中学一检)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c，则()A.12B.14C1 D2(2)已知梯形 ABCD，其中
31、ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_解析(1)由于 ab(1，2)，故(ab)c4(1)60，解得 12，故选 A.(2)在梯形 ABCD 中，DC2AB，DC2 AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)答案(1)A(2)(2,4)1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐
32、标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用 思想方法 3方程思想在平面向量线性运算中的应用【典例】(2013北京卷)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则_.解析 以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为 1 个单位，则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，所以 aAO(1,1)，bOB(6,2)，cBC(1，3)由 cab 可得16，32，解得2，12，所以4.答案 4反思感悟(1)
33、用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解【自主体验】1设 e1，e2 是平面内一组基底，且 ae12e2，be1e2，则向量 e1e2 可以表示为另一组基底 a，b 的线性组合，即 e1e2_a_b.解析 由题意，设 e1e2manb.又 ae12e2，be1e2，所以 e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.又 e1，e2 是平面内一组基向量，所以mn1，2mn1，则m23，n13.答案 23 132已知向量 a8，x2，b(x,1)，其中 x0，若(a2b)(2ab)，
34、则 x_.解析 a2b82x，x22，2ab(16x，x1)，由题意得(82x)(x1)x22(16x)，整理得 x216，又 x0，所以 x4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014华东师大附中模拟)如图，设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的交点，下列向量组：AD与AB；DA与BC；CA与DC；OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()ABCD解析 中AD与AB不共线，可作为基底；中DA与BC为共线向量，不可作为基底；中CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；中OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底综上，只
35、有中的向量可以作为基底，故选 C.答案 C2(2014揭阳二模)已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若AB3a，则点 B 的坐标为()A(7,4)B(7,14)C(5,4)D(5,14)解析 设点 B 的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5)由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.答案 D3.如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OPx OAy OB，且BP2 PA，则()Ax23，y13Bx13，y23Cx14，y34Dx34，y14解析 由题意知OPOBBP，又BP2 PA，所以OPOB23BAOB23(OAOB)23OA13OB，所以 x23，y13.答案 A4(
36、2013惠州模拟)已知向量 a(1,1)，b(3，m)，a(ab)，则 m()A2 B2 C3 D3解析 ab(2，m1)，由 a(ab)，得(1)(m1)210，解得 m3.答案 C5(2014许昌模拟)在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2P C，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21)解析 BC3 PC3(2 PQPA)6 PQ3 PA(6,30)(12,9)(6,21)答案 B二、填空题6若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则1a1b的值为_解析 AB(a2，2)，A
37、C(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即 ab2a2b0，所以1a1b12.答案 127已知向量OA(3，4)，OB(0，3)，OC(5m，3m)，若点 A，B，C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是_解析 由题意得AB(3,1)，AC(2m,1m)，若 A，B，C 能构成三角形，则AB，AC不共线，则3(1m)1(2m)，解得 m54.答案 m548(2013江苏卷)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1 AB2 AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_解析 DEDBBE12AB23BC12AB23(BAAC)16AB23AC
38、，所以 116，223，即 1212.答案 12三、解答题9已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，法一 当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数 使 kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，k310，2k24.解得 k13，当 k13时，kab 与 a3b 平行，这时 kab13ab13(a3b)130，kab 与 a3b 反向法二 kab 与 a3b 平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得 k13，此时 kab133
39、，232 13(a3b)当 k13时，kab 与 a3b 平行，并且反向10已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OMt1 OAt2 AB.(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点都共线(1)解 OMt1OAt2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点 M 在第二或第三象限时，有4t20，2t14t20，故所求的充要条件为 t20 且 t12t20，(2)证明 当 t11 时，由(1)知OM(4t2,4t22)ABOBOA(4,4)，AMOMOA(4t2,4t2)t2(4,4)t2 AB，A
40、M与AB共线，又它们有公共点 A，A，B，M 三点共线能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2013保定模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若 pq，则角 C 的大小为()A30 B60 C90 D120解析 由 pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理得 b2a2c2ab，由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab12，又 0C0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则1a2b的最小值为_解析 ABOBOA(a1,1)，ACOCOA(b1,2)A，B，C 三点共线，ABAC.2(a1)(b1)0，2a
41、b1.1a2b1a2b(2ab)4ba4ab 42 ba4ab 8.当且仅当ba4ab，即 b12，a14时取等号1a2b的最小值是 8.答案 8三、解答题4.如图，已知点 A(1,0)，B(0,2)，C(1，2)，求以 A，B，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标解 以 A，B，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：ABCD；ADBC；ABDC.设 D 的坐标为(x，y)，若是ABCD，则由ABDC，得(0,2)(1,0)(1，2)(x，y)，即(1,2)(1x，2y)，1x1，2y2，x0，y4.D 点的坐标为(0，4)(如题图中所示的 D1)若是ADBC，由CBAD，得(0,2
42、)(1，2)(x，y)(1,0)，即(1,4)(x1，y)，解得 x2，y4.D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的 D2)若是ABDC，则由ABCD，得(0,2)(1,0)(x，y)(1，2)，即(1,2)(x1，y2)解得 x2，y0.D 点的坐标为(2,0)(如题图中所示的 D3)，以 A，B，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0，4)或(2,4)或(2,0).学生用书第 73 页第 3 讲 平面向量的数量积最新考纲1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的
43、夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知 识 梳 理1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作 a与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.(2)几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|aa x21y21.(3)夹角：cos ab|a|
44、b|x1x2y1y2x21y21x22y22.(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)辨 析 感 悟1对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量()(2)(2013湖北卷改编)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为3 22.()(3)若 ab0，则 a 和
45、 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)ab0，则 a0 或 b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)abac(a0)，则 bc.()感悟提升三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量设向量 a，b 的夹角为，当 为锐角时，投影为正值；当 为钝角时，投影为负值；当 为直角时，投影为 0；当 0时，b 在 a 的方向上投影为|b|，当 180时，b 在 a方向上投影为|b|，如(2)；当 0时，ab0，180，ab0，即 ab0是两个向量 a，b
46、 夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是 ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab，如(4)考点一 平面向量数量积的运算【例 1】(1)(2014威海期末考试)已知 a(1,2)，2ab(3,1)，则 ab()A2 B3 C4 D5(2)(2013江西卷)设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为_解析(1)a(1,2)，2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)ab(1,2)(1,3)1235.(2)由于 ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e
47、12e216e1e226125，所以 a 在 b 方向上的射影为|a|cosab|b|52.答案(1)D(2)52学生用书第 74 页规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用【训练 1】(1)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3(2)(2013山东卷)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8
48、ab)c(6,3)(3，x)30，即 183x30，解得 x4.故选 C.(2)APBC，APBC0，(ABAC)BC0，即(ABAC)(ACAB)(1)ABACAB2AC20.向量AB与AC的夹角为 120，|AB|3，|AC|2，(1)|AB|AC|cos 120940，解得 712.答案(1)C(2)712考点二 向量的夹角与向量的模【例 2】(1)若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_(2)已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24ab，则|a|2|a|24|b
49、|24|a|b|cos，即 04|b|243|b|2cos，得 cos 13.(2)因为|2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2 2.答案(1)13(2)2 2规律方法(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)|a|aa常用来求向量的模【训练 2】(1)(2014长沙模拟)已知向量 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_.(2)若平面向量 a，b 满足|a|1，|b|1，且以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则 a 和 b 的夹角 的取值范围是_解析(1)由|2ab|10平方得，4a24abb210，即|b|24|b|c
50、os 45410，亦即|b|22 2|b|60，解得|b|3 2或|b|2(舍去)(2)依题意有|a|b|sin 12，即 sin 12|b|，由|b|1，得12sin 1，又 0，故有656.答案(1)3 2(2)6，56考点三 平面向量的垂直问题【例 3】已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)(1)求证：ab 与 ab 互相垂直；(2)若 kab 与 akb 的模相等，求(其中 k 为非零实数)审题路线 证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证由模相等，列等式、化简求.(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(co
51、s2sin2)0，ab 与 ab 互相垂直(2)解 kab(kcos cos，ksin sin)，akb(cos kcos，sin ksin)，|kab|k22kcos1，|akb|12kcosk2.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又 k0，cos()0.0，0，2.规律方法(1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时，若证明 ab，则只需证明 ab0 x1x2y1y20.(2)当向量 a，b 是非坐标形式时，要把 a，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明 ab0.(3)数量积的运算 ab0ab 中，是对非零向量而言的，若 a0，虽
52、然有 ab0，但不能说 ab.【训练 3】已知平面向量 a(3，1)，b12，32.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 ca(t23)b，dkatb，且 cd，试求函数关系式 kf(t)(1)证明 ab 3121 32 0，ab.(2)解 ca(t23)b，dkatb，且 cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又 a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)t33t4(t0)1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用
53、方法：利用公式|a|2a2，将模的 运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.学生用书第 75 页教你审题 5数量积的计算问题【典例】(2012上海卷)在矩形 ABCD 中，设 AB，AD 的长分别为 2,1.若 M，N分别是边 BC，CD 上的点，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AMAN的取值范围是_审题 一审：抓住题眼“矩形 ABCD”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决解析 如图，以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为 A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，设|BM|BC|CN
54、|CD|k(0k1)，则点 M 的坐标为(2，k)，点 N 的坐标为(22k,1)，则AM(2，k)，AN(22k,1)，AMAN2(22k)k43k，而 0k1，故143k4.答案 1,4反思感悟 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多【自主体验】(2012江苏卷)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若ABAF 2，则AEBF的值是_解析 法一 以 A 为原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，E(2，1
55、)，F(x,2)，AF(x,2)，AB(2，0)，AE(2，1)，BF(x 2，2)，ABAF 2x 2，解得 x1，F(1,2)，AEBF 2.法二 ABAF|AB|AF|cosBAF 2，|AF|cosBAF1，即|DF|1，|CF|21，AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC 2(21)(1)121 2.答案 2基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2013湛江二模)向量 a(1,2)，b(0,2)，则 ab()A2 B(0,4)C4 D(1,4)解析 ab(1,2)(0,2)10224.答案 C2(2014绍兴质检)在边长为 2 的
56、菱形 ABCD 中，BAD120，则AC在AB方向上的投影为()A.14B.12C1 D2解析 如图所示，AC在AB方向上的投影为|AC|cos 602121.答案 C3(2013山东省实验中学诊断)已知向量 a(3，1)，b(0,1)，c(k，3)若a2b 与 c 垂直，则 k()A3 B2 C1 D1解析 由题意知(a2b)c0，即 ac2bc0.所以 3k 32 30，解得 k3.答案 A4(2014浙江五校联盟)若非零向量 a，b 满足|a|b|，且(2ab)b0，则向量 a，b 的夹角为()A.23B.6C.3D.56解析 由(2ab)b0，得 2ab|b|20.2|b|2cos|b
57、|20，cos12，又0，23.答案 A5(2013福建卷)在四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()A.5B2 5C5 D10解析 ACBD1(4)220，ACBD，S 四边形|AC|BD|2 5 2025.答案 C二、填空题6(2013新课标全国卷)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若 bc0，则 t_.解析 bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2t21t1t2.由 bc0，得 1t20，所以 t2.答案 27(2014南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA(3，1)，OB(0,
58、2)若OCAB0，ACOB，则实数 的值为_解析 设 C(x，y)，则OC(x，y)，又ABOBOA(0,2)(3，1)(3,3)，所以OC AB3x3y0，解得 xy.又AC(x3，y1)(0,2)，得x30，y12，结合 xy，解得 2.答案 28.(2014潍坊二模)如图，在ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC3，60，则|OA|_.解析 因为60，所以ABAC|AB|AC|cos 60131232，又AO12ABAC，所以AO214(ABAC)214(AB22ABACAC2)，即AO214(139)134，所以|OA|132.答案 132三、解答题9已知平面向量 a(1，x
59、)，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|.解(1)若 ab，则 ab1(2x3)x(x)0.整理得 x22x30，故 x1 或 x3.(2)若 ab，则有 1(x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2.当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|22022.当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2 5.综上，可知|ab|2 或 2 5.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求|ab|；(3)若ABa，BCb，求ABC 的面积解(
60、1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos ab|a|b|64312.又 0，23.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|13.(3)AB与BC的夹角 23，ABC23 3.又|AB|a|4，|BC|b|3，SABC12|AB|BC|sinABC1243 32 3 3.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2013青岛一模)若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|a|，则向量 ab与 a 的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析 由|ab|ab|，得 a2
61、2abb2a22abb2，即 ab0，所以(ab)aa2ab|a|2.故向量 ab 与 a 的夹角 的余弦值为cos aba|ab|a|a|22|a|a|12.所以 3.答案 B2(2014昆明调研)在ABC 中，设AC2AB22AMBC，那么动点 M 的轨迹必通过ABC 的()A垂心B内心C外心D重心解析 假设 BC 的中点是 O.则AC2AB2(ACAB)(ACAB)2AOBC2AMBC，即(AOAM)BCMOBC0，所以MOBC，所以动点 M 在线段 BC的中垂线上，所以动点 M 的轨迹必通过ABC 的外心，选 C.答案 C二、填空题3(2013浙江卷)设 e1，e2 为单位向量，非零向
62、量 bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2 的夹角为6，则|x|b|的最大值等于_解析 因为 e1e2cos 6 32，所以 b2x2y22xye1e2x2y2 3xy.所以x2b2x2x2y2 3xy11yx2 3yx，设 tyx，则 1t2 3tt 3221414，所以011t2 3t4，即x2b2的最大值为 4，所以|x|b|的最大值为 2.答案 2三、解答题4设两向量 e1，e2 满足|e1|2，|e2|1，e1，e2 的夹角为 60，若向量 2te17e2与向量 e1te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围解 由已知得 e214，e221，e1e221cos 601.(2te1
63、7e2)(e1te2)2te21(2t27)e1e27te222t215t7.欲使夹角为钝角，需 2t215t70，得7t12.设 2te17e2(e1te2)(0)，2t，7t，2t27.t 142，此时 14.即 t 142 时，向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为.当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是7，142 142，12.学生用书第 75 页第 4 讲 平面向量应用举例最新考纲1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的
64、平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0 x1x2y1y20(a，b 均为非零向量)(3)求夹角问题，利用夹角公式cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(为 a 与 b 的夹角)2向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识3向量在解析几何中的应用向量在解析几
65、何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体4向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.学生用书第 76 页辨 析 感 悟1向量与其他数学知识的交汇(1)已知ABC 中，BC 边最长，ABa，ACb，且 ab0，则ABC 的形状为钝角三角形()(2)在四边形 ABCD 中，ABDC，且ACBD0，则四边形 ABCD 是矩形()(3)(2014贵州调研改编)在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)
66、与动点 P(x，y)满足OPOA4，则点 P 的轨迹方程是 x2y40.()2平面向量在物理中的应用(4)作用于同一点的两个力 F1 和 F2 的夹角为23，且|F1|3，|F2|5，则 F1F2大小为 19.()(5)已知一物体在共点力 F1(lg 2，lg 2)，F2(lg 5，lg 2)的作用下产生位移 s(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功 W 为 2.()感悟提升1一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算2两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、
67、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.考点一 向量在平面几何中的应用【例 1】(1)(2013新课标全国卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_.(2)(2013天津卷)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若ACBE1，则 AB 的长为_审题路线(1)法一：把向量AE与BD分别用基底AD，AB表示法二：建立平面直角坐标系求向量AE，BD的坐标(2)把向量AC与BE分别用基底AB，AD表示利用ACBE1 整理建立关于|AB|的一元二次方程解得|AB|.
68、解析(1)法一 AEBDAD12AB(ADAB)AD212AB22212222.法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图)则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)AE(1,2)，BD(2,2)从而AEBD(1,2)(2,2)1(2)222.(2)由题意可知，ACABAD，BE12ABAD.因为ACBE1，所以(ABAD)12ABAD1，即AD212ABAD12AB21.因为|AD|1，BAD60，所以ABAD12|AB|，因此式可化为 114|AB|12|AB|21，解得|AB|0(舍去)或12，所以 AB 的长为12.答案(1)2(2)12规律方法 用平面
69、向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题【训练 1】(1)(2014杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 是BC 的中点，则ACAE()A.3 33B.92C.3D.94(2)在ABC 所在平面上有一点 P，满足PAPBPCAB，则PAB 与ABC的面积之比值是()A.13B.12C.23D.34解析(1)建立如图平面直角坐标系，则 A 32，0，C32，0，B0，12.E 点坐标为34，14，AC(3，0)，AE3 34，14，ACAE 33 34 94.(2)由已知
70、可得PC2AP，P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A)，易知 SPAB13SABC，即 SPABSABC13.答案(1)D(2)A考点二 向量在三角函数中的应用【例 2】设向量 a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若 tan tan 16，求证：ab.(1)解 因为 a 与 b2c 垂直，所以 a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0，因此 tan()2.(2)解 由 bc(sin cos，4cos 4s
71、in)，得|bc|sin cos 24cos 4sin 2 1715sin 24 2.又当 k4(kZ)时，等号成立，所以|bc|的最大值为 4 2.(3)证明 由 tan tan 16，得4cos sin sin 4cos，所以 ab.规律方法(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【训练 2】(2013江苏卷)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|
72、ab|2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求，的值解(1)由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22ab2，即 ab0，故 ab.(2)因为 ab(cos cos，sin sin)(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1，由此得，cos cos()，由 0，得 0，又 0，故.代入 sin sin 1 得，sin sin 12，而，所以 56，6.学生用书第 77 页考点三 向量在解析几何中的应用【例 3】(2013湖南卷)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作 PQl，垂足
73、为 Q，且PC12PQPC12PQ0.(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)若 EF 为圆 N：x2(y1)21 的任一条直径，求PEPF的最值解(1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)由(PC12PQ)(PC12PQ)0，得|PC|214|PQ|20，即(x2)2y214(x8)20，化简得x216y2121.所以点 P 在椭圆上，其方程为x216y2121.(2)因PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)(NP)2NF2NP21，P 是椭圆x216y2121 上的任一点，设 P(x0，y0)，则有x2016y20121，即 x20164y203，又 N(0,1)，所以NP2x
74、20(y01)213y202y01713(y03)220.因 y02 3，2 3，所以当 y03 时，NP2 取得最大值 20，故PEPF的最大值为 19；当 y02 3时，NP2 取得最小值为 134 3(此时 x00)，故PEPF的最小值为 124 3.规律方法 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析
75、几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法【训练 3】已知点 P(0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M满足PAAM0，AM32MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程解 设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，设 A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则PA(a,3)，AM(xa，y)，MQ(x，by)，由PAAM0，得 a(xa)3y0.由AM32MQ，得(xa，y)32(x，by)32x，32yb，xa32x，y32y32b，ax2，by3.把 ax2代入，得x2xx2 3y0，整理得 y14x2(x0)所以动点 M 的轨迹方程为 y14x2(x
76、0)1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题 创新突破 5破解平面向量与圆的交汇问题【典例】(2013湖南卷改编)已知 a，b 是单位向量，ab0.若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最大值为_突破 1：根据条件转化到平面直角坐标系中突破 2：把条件坐标化突破 3：把坐
77、标化后的式子配方整理可得到圆的方程突破 4：利用圆的知识求|c|max.解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意知 ab，且 a 与 b 是单位向量，可设OAa(1,0)，OBb(0,1)，OCc(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点 C(x，y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心，1 为半径的圆而|c|x2y2，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max 21.答案 21反思感悟 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向
78、量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决【自主体验】1ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2 OAABAC0，|OA|AB|，则CACB()A.32B.3C3 D2 3解析 由 2 OAABAC0，得 2 OAOBOAOCOA0，即OBOC，即 O，B，C 三点共线，BC 为ABC 外接圆的直径，故BAC90.又|OA|AB|，得 B60，所以 C30，且|CA|3(如图所示)所以CACB|CA|CB|cos 30 32 32 3.答
79、案 C2给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上运动若OCx OAy OB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_解析 法一 以 O 为坐标原点，OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B12，32，设AOC0，23，则 C(cos，sin)，由OCx OAy OB，得cos x12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，所以 xycos 3sin 2sin6，又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2.法二 依题意，|OC|1，则|OC|21，又OCxOAy
80、OB，|OA|OB|1，120，x2OA2y2OB22xyOAOB1，因此 x2y22xycos 1201，xyx2y21.3xy(xy)213xy22，即(xy)24.xy 的最大值是 2.答案 2基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014邵阳模拟)已知 a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中 x(0，)若|ab|a|b|，则 tan x 的值等于()A1 B1 C.3D.22解析 由|ab|a|b|知，ab.所以 sin 2x2sin2x，即 2sin xcos x2sin2x，而 x(0，)，所以 sin xcos x，即 x4，故 tan x1.答案 A2(
81、2014南昌模拟)若|a|2sin 15，|b|4cos 15，a 与 b 的夹角为 30，则 ab的值是()A.32B.3C2 3D.12解析 ab|a|b|cos 308sin 15cos 15 32 4sin 30 32 3.答案 B3.(2013哈尔滨模拟)函数 ytan4x2的部分图象如图所示，则(OAOB)AB()A4 B6C1 D2解析 由条件可得 B(3,1)，A(2,0)，(OAOB)AB(OAOB)(OBOA)OB2OA21046.答案 B4已知|a|2|b|，|b|0 且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等实根，则向量a 与 b 的夹角是()A6B3C.3D.2
82、3解析 由已知可得|a|24ab0，即 4|b|242|b|2cos 0，cos 12，又0，23.答案 D5(2014安庆二模)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对应的三角形的边长，若 4aBC2bC A3cAB0，则 cos B()A1124B.1124C.2936D2936解析 由 4aBC2bC A3cAB0，得4aBC3cAB2bC A2b(BABC)2bAB2bBC，所以 4a3c2b.由余弦定理得 cos Ba2c2b22acb24 49b2b22b223b1124.答案 A二、填空题6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若ABACBABC1
83、，那么 c_.解析 由题意知ABACBABC2，即ABACABBCAB(ACCB)AB22c|AB|2.答案 27(2014南通一调)在ABC 中，若 AB1，AC 3，|ABAC|BC|，则BABC|BC|_.解析 易知满足|ABAC|BC|的 A，B，C 构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，于是BABC|BC|BA|cosABC1cos 6012.答案 128(2013东北三校一模)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(3bc)cos Aacos C，SABC 2，则BAAC_.解析 依题意得(3sin Bsin C)cos Asin Acos C，即 3sin
84、Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，于是有 cos A13，sin A 1cos2A2 23，又 SABC12bcsin A12bc2 23 2，所以 bc3，BAACbccos(A)bccos A3131.答案 1三、解答题9已知圆 C：(x3)2(y3)24 及点 A(1,1)，M 是圆 C 上的任意一点，点 N在线段 MA 的延长线上，且MA2AN，求点 N 的轨迹方程解 设 M(x0，y0)，N(x，y)由MA2AN，得(1x0,1y0)2(x1，y1)，x032x，y032y.点 M(x0，y0)在圆 C 上，(x03)2(y03)24，即
85、(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求点 N 的轨迹方程是 x2y21.10(2014北京海淀模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABACBABCk(kR)(1)判断ABC 的形状；(2)若 c 2，求 k 的值解(1)ABACcbcos A，BABCcacos B，又ABACBABC，bccos Aaccos B，sin Bcos Asin Acos B，即 sin Acos Bsin Bcos A0，sin(AB)0，AB，AB，即ABC 为等腰三角形(2)由(1)知，ABACbccos Abcb2c2a22bcc22k，c 2，k1.能力提升题组(建
86、议用时：25 分钟)一、选择题1已知向量OB(2,0)，向量OC(2,2)，向量CA(2cos，2sin)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0，4B.4，512 C.512，2D.12，512解析 由题意，得OAOCCA(2 2cos，2 2sin)，所以点 A 的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当 A 位于使直线 OA 与圆相切时，向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值，故选 D.答案 D2(2014北京东城区期末)已知ABD 是等边三角形，且AB12ADAC，|CD|3，那么四边形 ABCD 的面积为()A.32B.323C3 3D.923解析 如图所示，CDAD
87、AC12ADAB，CD212ADAB 2，即 314AD2AB2ADAB，|AD|AB|，54|AD|2|AD|AB|cos 603，|AD|2.又BCACAB12AD，|BC|12|AD|1，|BC|2|CD|2|BD|2，BCCD.S 四边形 ABCDSABDSBCD1222sin 60121 3323，故选 B.答案 B二、填空题3(2014苏锡常镇二调)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，且对一切实数 x，|axb|ab|恒成立，则 a 与 b 的夹角大小为_解析|a|2，|b|1，|axb|ab|对一切实数 x 恒成立，两边平方整理得 x22abx2ab10 对一切实数 x 恒
88、成立，所以(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，所以 ab1，故 cos ab|a|b|22，又0，所以34，即 a，b 的夹角是34.答案 34三、解答题4(2014南通模拟)已知向量 m3sin x4，1，ncos x4，cos2x4.(1)若 mn1，求 cos23 x 的值；(2)记 f(x)mn，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数 f(A)的取值范围解(1)mn 3sin x4cos x4cos2x4 32 sin x21cos x22sinx26 12，mn1，sinx26 12.cosx3 12sin2
89、x26 12，cos23 x cosx3 12.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B12，0B，B3，0A23.6A262，sinA26 12，1.又f(x)sinx26 12，f(A)sinA26 12.故函数 f(A)的取值范围是1，32.方法强化练平面向量(对应学生用书 P283)(建议用时：90 分钟)一、选择题1(2014福建质检)已知向量 a(m2,4)，b(1,1
90、)，则“m2”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 依题意，当 m2 时，a(4,4)，b(1,1)，所以 a4b，即 ab，即由m2 可以推出 ab；当 ab 时，m24，得，m2，所以不能推得 m2，即“m2”是“ab”的充分不必要条件答案 A2(2013德州一模)已知向量 a(2,3)，b(k,1)，若 a2b 与 ab 平行，则 k的值是()A6 B23C.23D14解析 由题意得 a2b(22k,5)，且 ab(2k,2)，又因为 a2b 和 ab 平行，则 2(22k)5(2k)0，解得 k23.答案 C3(2013浙江五校联考)已知
91、|a|b|a2b|1，则|a2b|()A9 B3 C1 D2解析 由|a|b|a2b|1，得 a24ab4b21，4ab4，|a2b|2a24ab4b2549，|a2b|3.答案 B4(2014郑州一模)已知平面向量 a(2，m)，b(1，3)，且(ab)b，则实数 m 的值为()A2 3B2 3C4 3D6 3解析 因为(ab)b，所以(ab)babb20，即2 3m40，解得 m2 3.答案 B5(2014长春一模)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角为()A.2B.3C.4D.6解析 a(ba)aba22，所以 ab3，所以 cos ab|a|b|31612.
92、所以3.答案 B6(2013潮州二模)已知向量 a(1，cos)，b(1,2cos)且 ab，则 cos 2等于()A1 B0 C.12D.22解析 abab0，即 12cos20，cos 20.答案 B7(2014成都期末测试)已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且2OAOBOC0，则有()A.AO2ODB.AOODC.AO3ODD2AOOD解析 由 2OAOBOC0，得OBOC2OA2AO，即OBOC2OD2AO，所以ODAO，即 O 为 AD 的中点答案 B8(2013潍坊一模)平面上有四个互异点 A，B，C，D，已知(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC 的形
93、状是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D无法确定解析 由(DBDC2DA)(ABAC)0，得(DBDA)(DCDA)(ABAC)0，所以(ABAC)(ABAC)0.所以|AB|2|AC|20，|AB|AC|，故ABC 是等腰三角形答案 B9(2013兰州一模)在ABC 中，G 是ABC 的重心，AB，AC 的边长分别为 2,1，BAC60.则AGBG()A89B109C.5 39D5 39解析 由 AB2，AC1，BAC60，所以 BC 3，ACB90，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则 A(0,1)，B(3，0)，所以重心 G 33，13，所以AG 33，23，BG2 33
94、，13，所以AGBG 33，23 2 33，13 89.答案 A10(2014皖南八校第三次联考)已知正方形 ABCD(字母顺序是 ABCD)的边长为1，点E是AB边上的动点(可以与A或B重合)，则DECD的最大值是()A1 B.12C0 D1解析 建立直角坐标系如图所示，设 E(x,0)，x0,1，则 D(0,1)，C(1,1)，B(1,0)，所以DECD(x，1)(1,0)x，当 x0 时取得最大值 0.答案 C二、填空题11(2013济南模拟)若 a(1，2)，b(x,1)，且 ab，则 x_.解析 由 ab，得 abx20，x2.答案 212(2013昆明期末考试)已知向量 a(1,1
95、)，b(2,0)，则向量 a，b 的夹角为_解析 a(1,1)，b(2,0)，|a|2，|b|2，cos ab|a|b|22 2 22，4.答案 413(2014杭州质检)在 RtABC 中，C90，A30，BC1，D 为斜边AB 的中点，则ABCD_.解析 ABCDAB(ADAC)ABADABAC212 3cos 301.答案 114(2014湖南长郡中学、衡阳八中联考)已知 G1，G2 分别为A1B1C1 与A2B2C2的重心，且A1A2e1，B1B2e2，C1C2e3，则G1G2_(用 e1，e2，e3 表示)解析 由A1A2A1G1G1G2G2A2e1，B1B2B1G1G1G2G2B2
96、e2，C1C2C1G1G1G2G2C2e3，且 G1，G2 分别为A1B1C1 与A2B2C2 的重心，所以A1G1B1G1C1G10，G2A2G2B2G2C20，将相加得G1G213(e1e2e3)答案 13(e1e2e3)三、解答题15(2013漯河调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(2,1)，A(1,0)，B(cos，t)(1)若 aAB，且|AB|5|OA|，求向量OB的坐标；(2)若 aAB，求 ycos2cos t2 的最小值解(1)AB(cos 1，t)，又 aAB，2tcos 10.cos 12t.又|AB|5|OA|，(cos 1)2t25.由得，5t25
97、，t21.t1.当 t1 时，cos 3(舍去)，当 t1 时，cos 1，B(1，1)，OB(1，1)(2)由(1)可知 tcos 12，ycos2cos cos 12454cos232cos 1454cos265cos 1454cos 35215，当 cos 35时，ymin15.16设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值解(1)由|a|2(3sin x)2(sin x)24sin2 x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得 4sin2 x1.
98、又 x0，2，从而 sin x12，所以 x6.(2)f(x)ab 3sin xcos xsin2 x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，当 x30，2 时，sin2x6 取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32.17(2013银川调研)已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点(1)求GAGBGO；(2)若 PQ 过ABO 的重心 G，且OAa，OBb，OPma，OQnb，求证：1m1n3.(1)解 GAGB2GM，又 2GMGO，GAGBGOGOGO0.(2)证明 显然OM12(ab)因为 G 是ABO 的重心，所以OG23OM13(ab)由 P，G，Q
99、 三点共线，得PGGQ，所以，有且只有一个实数，使PGGQ.而PGOGOP13(ab)ma13m a13b，GQOQOGnb13(ab)13an13 b，所以13m a13b13an13 b.又因为 a，b 不共线，所以13m13，13n13，消去，整理得 3mnmn，故1m1n3.18(2014太原模拟)已知 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x,1)(xR)(1)求 f(x)的周期和单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，ABAC3，求边长 b 和 c 的值(bc)解(1)由 题意知，f(x)2cos2x3sin 2x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 2cos2x3，f(x)的最小正周期 T，ycos x 在2k，2k(kZ)上单调递减，令 2k2x32k(kZ)，得 k6xk3(kZ)f(x)的单调递减区间k6，k3，kZ.(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1.又32A373，2A3.A3.ABAC3，即 bc6，由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc,7(bc)218，bc5，又 bc，b3，c2.
