1、考纲要求：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇函数偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x定义都有，那么函数 f(x)就叫做奇函数都有，那么函数 f(x)就叫做偶函数图象特征关于对称关于对称f(x)f(x)f(x)f(x)原点 y 轴2函数的周期性(1)周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期
2、中存在一个的正数，那么这个就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小最小正数自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()(6)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()
3、答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2下列函数为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x答案：D3已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 x0，x22x1 x|x|0，函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)lg(x x21)xlg(x21x)xlg(x21x)f(x)，即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数当且仅当1x1x0 时函数有意义，1x0 时，x0，f(x)x22x1f(x)，当 x0，f(x)x22x1f(x)，f(x)f(x)，即函数是奇函数4x20，|x3|32x2 且
4、 x0，函数的定义域关于原点对称，f(x)4x2x33 4x2x.又 f(x)4x2x 4x2x，f(x)f(x)，即函数是奇函数答案：(1)B判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称(3)性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的两个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数典题 2 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)
5、2xx2，则 f(0)f(1)f(2)f(2 016)_.听前试做 f(x2)f(x)，函数 f(x)的周期 T2.又当 x0,2)时，f(x)2xx2，所以 f(0)0，f(1)1，所以 f(0)f(2)f(4)f(2 016)0，f(1)f(3)f(5)f(2 015)1.故 f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.答案：1 008探究 1 若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)故函数 f(x)的周期为 2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.探究 2 若将“
6、f(x2)f(x)”改为“f(x1)1fx”，则结论如何？解：f(x1)1fx，f(x2)f(x1)11fx1f(x)故函数 f(x)的周期为 2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.(1)判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期1(2016晋中模拟)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)2，且对任意 xR 都有 f(x6)
7、f(x)f(3)成立，则 f(2 017)_.解析：f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，又对任意 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)，当 x3 时，有 f(3)f(3)f(3)0，f(3)0，f(3)0，所以有 f(x6)f(x)，周期为 6.故 f(2 017)f(1)2.答案：22设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x)ax1，1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f12 f32，则 a3b的值为_解析：因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f32 f12，且 f(1)f(1)，故 f12 f12，所以12b2121
8、12a1，即3a2b2.由 f(1)f(1)，得a1b22，即 b2a.由得 a2，b4，从而 a3b10.答案：10高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：函数的奇偶性与单调性相结合问题典题 3(1)定义在 R 上的偶函数 yf(x)在0，)上递减，且 f12 0，则满足 f(log14x)0，则 x 的取值范围是_听前试做(1)由题意可得 f(log14x)f(|log14x|)12，即 log14x12或 log14x12，解得 0 x2，所以满足不等式 f(log14x)0 的 x 的集合为0
9、，12(2，)(2)由题可知，当2x0.f(x1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的，若 f(x1)0，则1x0)5对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称易错防范1f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件2分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性
