1、学业分层测评(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.椭圆(m1)x2my21的长轴长是_.【解析】椭圆方程可简化为1，由题意知m0，b0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为_.【解析】根据条件可知，且4a4，a，c1，b，椭圆的方程为1.【答案】15.已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，a21，1a2，故长轴长2b0).由得由a2b2c2，得b232.故椭圆的方程为：1.【答案】17.椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_.【解析】如图，当直线xm，过右
2、焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由解得y，|AB|3.S323.【答案】38.(2016宿州高二检测)已知椭圆方程是1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为_. 【导学号：24830033】【解析】方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y1k(x1)，由得(49k2)x218k(k1)x9k218k270，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x22，解得k，则所求的直线方程为y1(x1)，即4x9y130.方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则11得k.直线l的方程为y1(x1)，即4x9y130
3、.【答案】4x9y130二、解答题9.(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.【解】(1)由题意得：bc，e2，e.(2)由题意得：2bac，4b2(ac)2又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，32520，即52230，e.10.过椭圆1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.【解】方法一：依题意，该直线l的斜率存在.设所求直线方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1
4、)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x2.又M为AB的中点，2，解之得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点.x1x24，y1y22.又A、B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直线方程为x2y40.能力提升1.点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是_.【解析】点A(a,1)在椭圆1内部，1.则a22，a.【答案】a2.(2016宿迁高二检测)如图222，P是椭圆1在第一象限上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是F1PF2的平分线上的一点，且0，则OM的取值范围是_.图222 【解析】延长 F2M交PF1于点N，由已知条件可知OMNF1(PF1PF2)aPF2，而acPF20，m.当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.
