1、1.2 数列的函数特性 必备知识自主学习 1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)_.通项公式法 2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列an,如果从第2项起,每一项都_它前面的一项,即_(nN+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列an,如果从第2项起,每一项都_它前面的项,即_(nN+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列an的各项都_,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列an,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的 前一项,这样的数列叫摆动数列.大于 an+1an 小于 an+10,所以an为递增数列.3.数列an中,an=-n
2、2+11n,则此数列最大项的值是()A.B.30 C.31 D.32【解析】选B.an=-n2+11n=,因为nN+,所以当n=5或6时,an取最大值30.1214211121(n)24关键能力合作学习 类型一 数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列an中,an=n2-8n,(1)画出an的图像.(2)根据图像判定数列an的增减性.【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表 描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),n 1 2
3、3 4 5 6 7 8 9 an-7-12-15-16-15-12-7 0 9 图像如图所示.(2)数列an的图像既不是上升的,也不是下降的,则an既不是递增的,也不是 递减的.【解题策略】画数列的图像的方法 数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,an)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集1,2,3,n),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.【跟踪训练】根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)an=(-1)n+2;(2)an=.22n9【解
4、析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.272523类型二 数列的增减性(逻辑推理)角度1 数列增减性的判断 【典例】1.已知数列an的通项公式为an=,按项的变化趋势,该数列 是()A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 n2n12.已知函数f(x)=(x1),构造数列an=f(n)(nN+).(1)求证:an-2.(2)数列an是递增数列,还是递减数列?为什么?12xx1【思路导引】通过计算an+1-an,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为an+1-an=0,所以
5、an+10.所以an=-2+-2.1 2n2n1332n1n1n1 （）3n13n1(2)数列an是递减数列,证明如下:因为an=,an+1=,所以an+1-an=0,所以an+1an,所以数列an是递减数列.12n1n1 2n12n1n2n2（）2n112nn2n12n1n11 2nn2n2n1（）（）（）（）（）（）222n3n12n3n2n2n1（）（）（）（）3n1n2（）（）【变式探究】如果an为递增数列,则an的通项公式可以为()A.an=-2n+3 B.an=-n2-3n+1 C.an=D.an=log2 n n12【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减
6、数列;B选项是 n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数为 ,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.1232 角度2 数列增减性的应用 【典例】(2020贵阳高一检测)若数列 的通项公式是an=(n+1)0.9n,对于 任意的正整数n都有anaN成立,则N为()A.6或7 B.7或8 C.8或9 D.9或10 na【思路导引】作差判断数列的单调性,得到当nan,数列 单调递增;当n8时,an+1an,数列 单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.an+1-an=(n+2)0.9n+1-(n+1
7、)0.9n=,当n=8时,an+1-an=0,当n0,当n8时,an+1-an0.所以当nan,数列 单调递增;当n8时,an+1a2a10=a11a12,所以数列an没有最大项.221361(n)242122.已知数列an的通项公式为an=2n0.9n,求数列an中的最大项.【解析】设an是数列an中的最大项,则 即 所以 所以 即9n10,所以当n=9或n=10时,an最大,最大项a9=a10=2100.910=200.910.nnnnaa1aa1，nn 1nn 12n0.92n10.92n0.92n10.9（），（）0.9nn1n0.9n1，（），n10n9，3.在数列an中,an=(n
8、+1)(nN+).(1)求证:数列an先递增,后递减;(2)求数列an的最大项.n10()11【解析】(1)因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.所以a1a2a3a11a12,所以数列an先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=.n10()11n10()11n109n()1111g10910111.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,B.sin ,sin ,sin ,sin ,C.-1,-,-,-,D.1,
9、2,3,4,30 课堂检测素养达标 3131321313313213413141213【解析】选C.数列1,是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减 数列;数列sin,sin ,sin,sin ,是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,是无穷数列,也是递增数列;数列 1,2,3,4,30是递增数列,但不是无穷数列.13213313133132134131412132.已知数列an的通项公式是an=,则这个数列是()A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列【解析】选B.数列an的通项公式是an=,则当nN+时为 递减数列.n2n1n2n1 111n1n1n
10、1 3.数列an的通项公式为an=n2-6n,则它的最小值是 .【解析】an=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,an取得最小值-9.答案:-9 4.已知递增数列an的通项公式为an=2kn+1,则实数k的取值范围是 .【解析】因为an单调递增,所以an+1-an=2k(n+1)+1-(2kn+1)=2k0,所以k0.答案:(0,+)5.(教材二次开发:习题改编)数列an满足an+1=-2an,若an单调递增,则首项 a1的范围是 .【解题指南】先表示出an+1-an,再结合an单调递增可求首项a1的范围.【解析】因为an+1=,所以an+1-an=-3an0,解得an3或an3或a
11、13或 -2a13或a1-1(0a1an,则该函数的图像是()【解析】选A.因为an+1=f(an),an+1an,所以f(an)an,即f(x)x.2.(2020西安高一检测)若不等式 a-2 019对任意nN*恒 成立,则最小的整数a=()A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021【解题指南】构造数列an=,分析an的单调性,将问题转化 为(an)maxan+1,所以an是单调递减数列,所以(an)max=a1=,所以 2 019+,aZ,所以amin=2 020.111n1n22n1111n2n32n3，11111102n32n2n12n32n22n22n3，1152
12、3656563.已知数列an,an=-2n2+n,若该数列是递减数列,则实数 的取值范围是 ()A.(-,3 B.(-,4 C.(-,5)D.(-,6)【解析】选D.依题意,an+1-an=-2(2n+1)+0,即2(2n+1)对任意的nN+恒成立.注意到当nN+时,2(2n+1)的最小值是6,因此6,即的取值范围是(-,6).4.对于函数y=g(x),部分x与y的对应关系如表:数列xn满足:x1=2,且对于任意nN+,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)的图像上,则 x1+x2+x2 015=()A.4 054 B.5 046 C.5 075 D.6 047 x123456y247518
13、【解题指南】由题意易得数列是周期为4的周期数列,可得x1+x2+x2 015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3,代值计算可得.【解析】选D.因为数列xn满足x1=2,且对任意nN+,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)的图像上,所以xn+1=g(xn),所以由题中表格可得x1=2,x2=g(x1)=4,x3=g(x2)=5,x4=g(x3)=1,x5=g(x4)=2,所以数列是周期为4的周期数列,故x1+x2+x2 015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3=503(2+4+5+1)+2+4+5=6 047.5.已知数列an,an=,则数列an中的最小项是
14、第 项.【解析】an=令3n-160,得n .又因为f(n)=an在 上单调递减,且nN+,所以当n=5时,an取最小值.答案:5 n161919n113333n163n1633n16，163n13n1616(0)3，6.在数列an中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:(1)这个数列共有几项为负?(2)这个数列从第几项开始递增?(3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由.【解析】(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当an0时,0n0时,即2n-70,解得n ,故从第4项开始数列an递增.(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,
15、根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即数列中有最小值,最小值为-36.72【补偿训练】已知函数f(x)=2x-2-x,数列an满足f(log2an)=-2n.(1)求数列an的通项公式.(2)证明:数列an是递减数列.【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以 所以an-=-2n,所以 +2nan-1=0,解得an=-n .因为an0,所以an=-n,nN+.2 n2 nlog alog a222n，n1a2na2n12n1(2)因为an0,所以an+1an,所以数列an是递减数列.22n 122nan11n1n1n1.an1nn11n1 （
16、）（）（）（）【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列an的通项公式为an=n+,若对任意nN+,都有ana3,则实数k的取值 范围为()A.6,12 B.(6,12)C.5,12 D.(5,12)kn【解析】选A.由已知n+3+对任意nN+恒成立,所以k 3-n,即k 3-n,当n4时,k3n,所以k12;当n=1时,k3;当n=2时,k6,以上三式都成立,所以取交集得6k12.knk311()n33n()3n2.已知数列an的通项公式为an=下列表述正确的是()A.最大项为0,最小项为 B.最大项为0,最小项不存在 C.最大项不存在,最小项为 D.最大
17、项为0,最小项为 n 1n 122()()133，20811414【解析】选A.令t=,则an=f(t)=t(t-1),0t1,对称轴t=.又因为n为整数,则n=3时,an取到最小项为 ,n=1时,取到最大项为0.n 12()31220813.(2020佛山高一检测)下列叙述正确的是()A.1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.0,1,0,1,是常数列 C.数列0,1,2,3,的通项an=n D.数列 2n+1是递增数列【解析】选D.数列1,3,5,7与7,5,3,1各项顺序不同,不是相同的数列,故A错误;数列0,1,0,1,是摆动数列,故B错误;数列0,1,2,3,的通项an=n-
18、1,故C错误;易知数列2n+1是递增数列,故D正确.4.在递减数列an中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是()A.R B.(0,+)C.(-,0)D.(-,0【解析】选C.因为an是递减数列,所以an+1-an=k(n+1)-kn=k0.5.在数列an中,已知an=(cR),则对于任意正整数n有()A.anan+1 D.an与an+1的大小关系和n有关 ncn1【解析】选B.因为 n+12,所以当c-10,即c1时,f(n)=an单调递减,an+1an;当c-1=0,即c=1时,an=1,an+1=an=1;当c-10,即can,所以an+1与an的大小关系和c有关,和n无关.nn
19、cc 1a1n1n1，【光速解题】因为cR,所以可以令c=0,求出an判断C错.令c=1,求出an=1,判断A,D错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020上海高一检测)已知数列 若对任意正整数n都有anak,则正整数k=.n4a293n，【解题指南】分析数列an的单调性,以及数列各项的取值正负,得到数列中的 最大项,由此即可求解出k的值.【解析】因为 所以n9时,an0,n10时,an0,又因为an在1,9上递增,所以(an)max=a9,又因为对任意正整数n都有anak,所以k=9.答案:9 n4a293n，7.已知数列an是递增数列,且an=则 的取值范围是 .【解析】由于数列
20、为递增数列,所以 解得 .答案:n 4(1)n5n4 nN35n4.，（），103141535 ，7(1)5，7(1)5，8.已知an=(nN+),设am为数列an的最大项,则m=.【解析】因为an=(nN+),所以 根据函数的单调性可判断:数列an在1,7,8,+)上单调递减,因为在1,7上an1,所以a8为最大项.答案:8 n7n5 2n7n5 2nn75 27a1.n5 2n5 2 三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020哈尔滨高一检测)已知数列 满足:且数列 an是递增数列,求实数a的取值范围.【解析】根据题意,an=f(n)=,(nN*),要使an是递增数列,必有 ,据此有
21、:,综上可得2a3.*nn6(3a)n3,n7a(nN)a,n7，n6(3a)n3,n7a,n7863a0a1(3a)73a a3a1a2a9 或10.若数列n(n+4)中的最大项是第k项,求k.【解析】由ak+1ak,akak-1得 k(k+4)(k+1)(k+5),k(k+4)(k-1)(k+3),化简得 k210,k2-2k-90,解得 k +1,由于k是正整数,所以k=4.k2()3k+12()3k2()3k-12()31010n2()3【创新迁移】1.函数f(x)定义如表,数列xn满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则 x2 020=()A.1 B.2 C.4 D
22、.5 x12345f(x)51342【解析】选B.根据定义可得,x1=f(x0)=2,x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,所以周期为3,所以x2 020=x1=2.2.已知数列an的通项公式an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?(2)数列an是否有最小项?若有,求出其最小项.【解析】(1)令an0,即n2-7n-80,得-1n8.又nN+,所以n=1,2,3,7,数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)方法一:an=n2-7n-8是关于n的二次函数,其对称轴方程为n=3.5,所以当1n3时,an单调递减;当n4时,an单调递增,所以当n=3或4时,an最小,且最小项a3=a4=-20.方法二:设an为数列an的最小项,则 72nn 1nn 1aaaa，即 解得3n4,故当n=3或n=4时,a3=a4是数列中的最小项,且最小项a3=a4=-20.2222n7n8n17(n1)8n7n8n17(n1)8（），（），
