1、第4讲 二次函数的概念与解析式知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一类新函数二次函数，重点掌握二次函数的概念以及三种解析式，能够准确判断函数的类型，能够根据点的坐标求出二次函数的解析式，本节课的难点在于三种解析式之间的区分，需要学生能够根据点的坐标特点准确选择合适的解析式形式进行求解。知识梳理讲解用时：20分钟二次函数的定义 （1）定义一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，a0，b或c可以为0。判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是
2、否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件。（2）定义域一般情况下，二次函数的定义域为一切实数，而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定。二次函数的解析式（1）一般式形如的式子叫做二次函数的一般式。如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。（2）顶点式形如的形式叫做二次函数的顶点式，而（-m，k）称为抛物线的顶点坐标，直线x=-m称为抛物线的对称轴。如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式。对于任意的二次函数，都可以配方为如下形式：，则顶点坐标，对
3、称轴：（3）交点式（）形如（）的式子叫做二次函数的交点式，其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标。如果已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式。说明：已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、课堂精讲精练【例题1】下列函数中，二次函数是（）。Ay=4x+5 By=x（2x3） Cy=（x+4）2x2 D【答案】B【解析】本题考查
4、了二次函数的定义，A、y=4x+5为一次函数；B、y=x（2x3）=2x23x为二次函数；C、y=（x+4）2x2=8x+16为一次函数；D、不是二次函数，故选：B讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。教学建议：牢记二次函数的定义即可。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：资中县一模 年份：2019【练习1】 下列函数中，y关于x的二次函数是（）。Ay=ax2+bx+c By=x（x1） CDy=（x1）2x2【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x（x1）=x2x是二次函数；C、不是二次函数；D、
5、y=（x1）2x2=2x+1为一次函数，故选：B讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。教学建议：牢记二次函数的定义即可。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：普陀区一模 年份：2019【例题2】若y=是二次函数，则m等于（）。A2 B2 C1 D1或2【答案】A 【解析】本题考查了二次函数的定义，由题意得，m2+m=2且m2m0，解得m1=1，m2=2且m0，m1，m=2故选：A讲解用时：3分钟解题思路：根据二次函数的定义，指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可。教学建议：注意二次项系数不能等于0难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：虎林市校级期
6、中 年份：2019秋【练习2】 若y=是关于x的二次函数，则m=。【答案】3 【解析】本题考查了二次函数的定义，由题意，得m22m1=2，且m2+m0，解得m=3。讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义求解即可。教学建议：注意二次项的系数不等于零。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：长汀县月考 年份：2019秋【例题3】 已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式。【答案】【解析】本题考查了待定系数法求二次函数一般式，设函数解析式为，函数经过点（0，2），（1，1），（3，5），依题意可得：，解得：，即得二次函数解析式为讲解用时：3分钟解题思路：通过
7、设出二次函数一般式，利用待定系数法转化为求三元一次方程组。教学建议：设出二次函数一般式。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习3】 已知一个二次函数的图象经过A（0，-3），B（1，0），C（m，2m+3），D（-1，2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标。【答案】y=2x2+x3，C（，0）或（2，7）。【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，3），B（1，0），D（1，2）代入得，解得，抛物线的解析式为y=2x2+x3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m3=2m+3，解得m1=，m2=2，C点坐标为（，
8、0）或（2，7）。讲解用时：8分钟解题思路：设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入，然后解三元一次方程组即可得到抛物线的解析式，再把C（m，2m+3）代入解析式得到关于m的方程，解关于m的方程可确定C点坐标。教学建议：根据给出的各点坐标设出一般式，代点求参数即可。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：普陀区一模 年份：2019【例题4】 将二次函数y=x26x+5用配方法化成y=（xh）2+k的形式，下列结果中正确的是（）。Ay=（x6）2+5By=（x3）2+5Cy=（x3）24Dy=（x+3）29【答案】C 【解析】本题考查的配方法将一般式化成顶点式，y=x26x+5=x
9、26x+94=（x3）24，故选：C讲解用时：3分钟解题思路：运用配方法把一般式化为顶点式即可。教学建议：熟练掌握一般式配方成顶点式的过程。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：资中县一模 年份：2019 【练习4】抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是 。【答案】y=2x2+8x5【解析】本题考查了待定系数法求二次函数顶点式，抛物线的顶点为（2，3），设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，经过点（3，1），代入得：1=a（32）2+3，解得：a=2，即y=2（x2）2+3=2x2+8x5讲解用时：3分钟解题思路：设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，把点
10、（3，1）代入得出1=a（32）2+3，求出a即可。教学建议：注意抛物线顶点式的设法。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：凉州区校级月考 年份：2019秋【例题5】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，） 三点，求这个二次函数的解析式。【答案】【解析】本题考查了根据二次函数交点式求二次函数解析式，二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0），设二次函数解析式为，把P（1，）代入，可得，这个二次函数的解析式为：讲解用时：3分钟解题思路：根据M、N两点坐标特征设出，代入P点坐标求出a的值即可。教学建议：注意抛物线交点式的设法。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份
11、：2019【练习5】抛物线图像经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这抛物线的解析式。【答案】【解析】本题考查了根据坐标特征求二次函数解析式，抛物线经过（0，3）、（12，3），对称轴为直线，顶点的纵坐标为6，顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把（0，3）代入，可得，所以抛物线的解析式为：讲解用时：5分钟解题思路：抛物线经过（0，3）、（12，3），得出对称轴为直线x=6，则顶点坐标（6,6），因而可以设出顶点式，代入其他坐标求出a即可。教学建议：本题的关键在于顶点坐标的表示，可根据学生基础选讲。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题6】已知函数y=（m
12、2m）x2+（m1）x+m+1，（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【答案】（1）m=0；（2）当m0且m1【解析】本题考查了一次函数与二次函数的定义，（1）根据一次函数的定义，得：m2m=0，解得m=0或m=1，又m10即m1；当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2m0，解得m10，m21，当m10，m21时，这个函数是二次函数讲解用时：5分钟解题思路：根据一次函数与二次函数的定义求解教学建议：熟练掌握一次函数与二次函数的定义。难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：夏津县校级自主招生 年份：2019【练习6】已知是x
13、的二次函数，求出它的解析式。【答案】y=6x2+9或y=2x24x+1【解析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得：m22m1=2，且m2m0，解得，m=3或m=1，当m=3时，y=6x2+9；当m=1时，y=2x24x+1；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x24x+1讲解用时：5分钟解题思路：根据二次函数的定义列出等式求解即可。教学建议：注意二次项系数不为0。难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：南江县校级期中 年份：2019秋【例题7】 已知二次函数y=2x28x+6，（1）把它化成y=a（xh）2+k的形式为： ；（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对
14、称轴： ；（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标。【答案】（1）y=2（x-2）2-2；（2）（2，-2）、x=2；（3）x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）、y轴的交点坐标为（0，6）【解析】（1）y=2x28x+6=2（x24x+4）8+6=2（x2）22；（2）y=2（x2）22，抛物线的顶点坐标是：（2，2）；对称轴是：x=2；（3）y=2x28x+6，当y=0时，2x28x+6=0，解得x1=1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x=0时，y=6，抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）讲解用时：8分钟解题思路：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一
15、半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；（3）把y=0代入y=2x28x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x=0代入y=2x28x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标。教学建议：熟练使用配方法把一般式化为顶点式，能够根据解析式求出坐标轴的交点坐标。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：南平期中 年份：2019秋【练习7】将下列二次函数写成顶点式y=a（xh）2+k的形式，并写出其顶点坐标，对称轴：（1）y=x26x+21； （2）y=2x212x22【答案】（1）y=（x
16、6）2+3，顶点坐标为（6，3），对称轴是直线x=6（2）y=2（x+3）24，顶点坐标为（3，4），对称轴是直线x=3【解析】（1）y=x26x+21=（x212x）+21=（x212x+3636）+21=（x6）2+3此抛物线顶点坐标为（6，3），对称轴是直线x=6；（2）y=2x212x22=2（x2+6x）22=2（x2+6x+99）22=2（x+3）24此抛物线顶点坐标为（3，4），对称轴是直线x=3讲解用时：8分钟解题思路：利用配方法把一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质解答。教学建议：熟练使用配方法把一般式化为顶点式。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：德州月考 年份：20
17、19秋【例题8】 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx3（a0）的图象过点（1，7），（1）若ab=8，求函数的表达式；（2）若函数图象的顶点在x轴上，求a的值。 【答案】（1）y=2x26x3；（2）a=10【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，（1）把（1，-7）代入二次函数解析式得：a+b3=7，又ab=8，解得，二次函数为y=2x26x3；（2）a+b3=7，b=4a，函数图象的顶点在x轴上，即，12a（4+a）2=0，解得a=10讲解用时：10分钟解题思路：（1）把（1，7）代入二次函数解析式得：a+b3=7，然后与已知ab=8组成方
18、程组，解方程组求得a、b即可；（2）根据函数图象的顶点在x轴上和a+b3=7，即可求得a的值。教学建议：顶点在x轴上，实则顶点纵坐标为0。难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：杭州二模 年份：2019【练习8】 已知抛物线y=ax2经过点A（2，8），（1）求此抛物线的函数解析式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。【答案】 （1）y=2x2，顶点坐标为（0，0）；（2）点B不在此抛物线上；（3）（，6）或（，6）【解析】本题主要考查了待定系数法求解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，（1）抛物线y=ax2经过
19、点A（2，8），a（2）2=8，a=2，此抛物线对应的函数解析式为y=2x2，则抛物线的顶点坐标为（0，0）（2）把x=1代入得，y=2（1）2=24，点B（1，4）不在此抛物线上；（3）把y=6代入y=2x2得6=2x2，解得x=，抛物线上纵坐标为6的点的坐标为（，6）或（，6）讲解用时：8分钟解题思路：（1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把A点坐标代入解析式得到a的值，即可得出抛物线的函数解析式，再将一般式配成顶点式即可得出顶点坐标；（2）把点B（-1，-4）代入解析式，即可判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上；（3）把y=6代入解析式，即可求得纵坐标为6的点的坐标。教学建议：
20、点在图象上，则点的坐标满足函数解析式。难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：惠州一模 年份：2019课后作业【作业1】 将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（）。Ay=（x-2）2-1 By=（x+1）（x+3Cy=（x2）2+1Dy=（x+2）21【答案】D【解析】本题考查了利用配方法把一般式化为顶点式，y=x2+4x+3=x2+4x+41=（x+2）21，故选：D讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题 例题来源：大邑县期末 年份：2019秋【作业2】将下列各二次函数解析式化为y=a（xh）2+k的形式，并写出顶点坐标。（1）y=x26x1；（2）y=2x24x6 ；
21、（3）y=x2+3x+10 【答案】（1）y=（x3）210，顶点（ 3，10 ）；（2）y=2（x+1）24，顶点（-1，-4 ）；（3）y=（x+3）2+，顶点（3， ）【解析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，（1）y=x26x1=x26x+991=（x3）210，顶点（ 3，10 ）；（2）y=2x24x6=2（x2+2x+11）6=2（x+1）24，顶点（-1，-4 ）；（3）y=x2+3x+10=（x2+6x+99）+10=（x+3）2+，顶点（3， ）讲解用时：8分钟难度：4 适应场景：练习题 例题来源：西城区校级期中 年份：2019秋【作业3】 已知抛物线y=ax2+bx
22、+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，（1）求该抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴。【答案】（1）y=x22x+3；（2）顶点坐标是（1，4），对称轴是x=1【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及配方法的应用，（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x1）（a0）把C（0，3）代入得a3（1）=3，解得a=1故该抛物线解析式为：y=（x+3）（x1）或y=x22x+3（2）y=x22x+3=（x+1）2+4抛物线的顶点坐标是（1，4），对称轴是x=1讲解用时：8分钟难度：4 适应场景：练习题 例题来源：长葛市校级月考 年份：2019秋第 - 16 - 页
