1、2.5等比数列的前n项和(二)课时目标1熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题2能用等比数列的前n项和公式解决实际问题1等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn；当q1时，Snna1.2等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍构成等比数列(注意：q1或m为奇数)(2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比)(3)若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则q.3解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型一、选择题1在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前3项和为21，则a3a4a5等于()A33B72C84
2、D189答案C解析由S3a1(1qq2)21且a13，得qq260.q0，q2.a3a4a5q2(a1a2a3)22S384.2某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A1.14a B1.15aC10a(1.151) D11a(1.151)答案D解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)3已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.答案C解析若
3、q1，则由9S3S6得93a16a1，则a10，不满足题意，故q1.由9S3S6得9，解得q2.故ana1qn12n1，()n1.所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5.4一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A300米B299米C199米D166米答案A解析小球10次着地共经过的路程为100100501008299300(米)5在等比数列中，S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90B70C40D30答案C解析q1 (否则S303S10)，由，q20q10120.q10
4、3，S20S10(1q10)10(13)40.6某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元答案B解析设每年偿还x万元，则：xx(1)x(1)2x(1)3x(1)4a(1)5，x.二、填空题7等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_答案解析由已知4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)a23a3，an的公比q.8在等比数列an中，已知S448，S860，则S12_.答案63解析方法一S82S4，q1，由已知得由得1q4，q4将代入得64，S1264
5、(1)63.方法二因为an为等比数列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，所以S3nS2n，所以S12S86063.9一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂答案729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a13，q3，第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a636729(只)10某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为_答案(1q)121解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1q)，该厂
6、第一年的生产总值为S11(1q)(1q)2(1q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1q)12，第2年全年生产总值S2(1q)12(1q)13(1q)23(1q)12S1，该厂生产总值的平均增长率为1(1q)121.三、解答题11为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.解(1)由题意知每年
7、的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3吨12某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg6572.82，lg20.30，lg30.48)解(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a11
8、28，q1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561458(辆)(2)记Sna1a2an，依据题意，得，于是Sn5000(辆)，即1.5n.两边取常用对数，则nlg1.5lg，即n7.3，又nN，因此n8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.能力提升13有纯酒精aL(a1)，从中取出1L，再用水加满，然后再取出1L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_L.答案8解析用an表示每次取出的纯酒精，a11，加水后浓度为1，a21，加水后浓度为2，a32，依次类推：a98，a109.898.14现在有某企业进行技术改造，有两
9、种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.1102.594,1.31013.79)解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为130%的等比数列，其和为1(130%)(130%)2(130%)942.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(10.1)10102.59425.94(万元)，甲方案扣除贷款本息后，净获利约为426325.9416.7(万元)乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，11.5(190.5)32.50(万元)，而贷款本利和为111(110%)(110%)91.117.53(万元)乙方案扣除贷款本息后，净获利约为325017.5315.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利1准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误2利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题
