1、第三节平面向量的综合应用授课提示：对应学生用书第82页基础梳理1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a| ，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量在解析几何中的
2、应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即Fs|F|s|cos (为F与s的夹角)4向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题1向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中
3、，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解2平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图像与性质进行求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等四基自测1(基础点：向量在平面几何中的应用)已知ABC的三个顶
4、点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析：(2，2)，(4，8)，(6，6)，| 2，|4，|6，|2|2|2，ABC为直角三角形答案：B2.(基础点：向量在物理中的应用)如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2 B2C2 D6解析：如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.故|F3|2.答案：A3(基础点：向量在平面解
5、析几何中的应用)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_解析：由4，得(x，y)(1，2)4，即x2y4.答案：x2y404(基础点：向量在三角函数中的应用)已知向量m与向量n(3，sin Acos A)共线，其中A是ABC的内角，则角A的大小为_解析：因为mn，所以sin A(sin Acos A)0，所以2sin2A2sin Acos A3，可化为1cos 2Asin 2A3，所以sin1，因为A(0，)，所以.因此2A，解得A.答案：授课提示：对应学生用书第83页考点一向量在平面几何中的应用挖掘用向量表示三角形的“心”/自主练透例(1)已知
6、O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，且，则点O，N，P依次是ABC的()A重心外心垂心B重心外心内心C外心重心垂心 D外心重心内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)解析由|知，O为ABC的外心；由0知，N为ABC的重心；因为，所以()0，所以0，所以，即CAPB，同理APBC，CPAB，所以P为ABC的垂心答案C(2)在ABC中，O为ABC的重心，若，则2()A B1C. D解析设AC的中点为D，因为O为ABC的重心，所以()，所以，所以2，故选D.答案D破题技法三角形“四心”的向量表示(1)在ABC中，若|或222，则点O是ABC的外心；(2)在ABC中，若0，则点G是
7、ABC的重心；(3)对于ABC，O，P为平面内的任意两点，若()，(0，)，则直线AP过ABC的重心；(4)在ABC中，若，则点H是ABC的垂心；(5)对于ABC，O，P为平面内的任意两点，若()(0)，则直线AP过ABC的内心1设P是ABC所在平面内的一点，若()2且22.则点P是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：由()2，得(2)0，即()()0，所以()0.设D为AB的中点，则20，故0.所以PDAB，即点P在AB边的中垂线上因为222，所以()()2，所以(2)0，设BC的中点为E，同上可知0，所以PEBC，即点P在BC边的中垂线上所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，即P
8、是ABC的外心故选A.答案：A2已知O是ABC所在平面内一点，且满足|2|2|2|2，则点O()A在过点C且与AB垂直的直线上B在A的平分线所在直线上C在边AB的中线所在直线上D以上都不对解析：由|2|2|2|2得|2|2|2|2，所以()()()()，即()()，所以()20，所以.故点O在过点C且与AB垂直的直线上答案：A考点二向量在解析几何中的应用例(1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A.BC. D解析如图，由|1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆由知，点M为PC的中点，取AC的中点N，连接MN，则|MN|AP|，所以点M的轨迹
9、是以N为圆心，以为半径的圆因为|3，所以|的最大值为3，|2的最大值为.故选B.答案B(2)在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2y250上，若20，则点P的横坐标的取值范围是_解析因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12，0)，B(0，6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x，6)因为20，先取P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5 .当2x50，即x0)，A，B两点关于x轴对称若圆C上存在点M，使得0，则当m取得最大值时，点M的坐标是()A. BC. D解析：由题意得圆的方程为
10、(x1)2(y)21，B(0，m)设M(x，y)，由于0，所以(x，ym)(x，ym)0，所以x2y2m20，所以m2x2y2，由于x2y2表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时m2最大，m也最大|OM|123，MOx60，所以xM3sin 30，yM3sin 60.故选C.答案：C2(2020河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ab)(2bc)的最小值为()A2 B3C1 D0解析：由|a|b|1，ab，可得a，b.令a，b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a(1，0)，b，设c(cos ，si
11、n )(02)，则(ab)(2bc)2abac2b2bc33sin，则(ab)(2bc)的最小值为3，故选B.答案：B考点三向量的其他应用挖掘1平面向量的创新应用/自主练透例1已知O是坐标原点，点A(1，2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A1，0B0，1C1，3 D1，4 解析作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设z，因为A(1，2)，M(x，y)，所以zx2y，即yxz.平移直线yx，由图像可知，当直线yxz经过点C(0，2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线yxz经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1z4，即14.
12、答案D破题技法以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题的求解策略：(1)准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本质含义紧扣题目所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的概念或定义混淆(2)方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结合，等价转化，特殊值，逐一排除等方法，并结合数量积性质求解对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n|m|n|sin ，其中为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()A若a*ba*c，则bcB(a*b)ca(b*c)Ca*b(a)*bD(ab)*ca*cb*c解析：a，b，c为两两不共线向量，则a，
13、b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为，b，c夹角为，则(a*b)c|a|b|sin c，a(b*c)|b|c|sin a，故B不正确，同理D不正确；a*b|a|b|sin |a|b|sin()(a)*b.故选C.答案：C挖掘2平面向量与三角函数、解三角形的综合应用/互动探究例2(2020衡阳模拟)在ABC中，若|2，且cos Ccos Asin B.(1)求角B的大小；(2)求ABC的面积解析(1)因为，所以cos Ccos Asin B()sin B，即(cos Csin B)(cos Asin B)0.而向量，是两个不共线的向量，所以所以cos Ccos A，因为A，C(0，)，所
14、以AC.在等腰ABC中，ABC，所以2AB，A.所以cos Acossin sin B，所以sin 2sin cos ，因为sin 0，所以cos .综合0，所以，B.(2)由(1)知，AC，由正弦定理，得，所以|2，SABC|sin 22.破题技法利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、解三角形结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积解析：(1)因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以ccos B(b2a)cos C0，在ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C，又sin A0，所以cos C，而C(0，)，所以C.(2)由知，所以2，两边平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，所以a2b2ab12.由得ab8，所以SABCabsinACB2.
