1、三角函数的最大值与最小值 221cossin4 4132cossin cos12232sin10yxxxyxxxxyxxx R【例】求下列函数的最值，；，；，22minmaxsinsin115(sin).2422,sin4 422212sin2215sin21.4yxxxxxxyxy 因为，所以，所以，当【解析】时，；当 时，2minmax13cossin cos122135cos2sin244415sin(2),26437,.424yxxxxxxyy所以 maxmin212cos00.3220)00)3322(0(33223;3300.3yxxxxyyxyyxyxy 当 ，且，时，当，时，在
2、，上单调递增；当，时，在，上单调递减所以，当 时，当 时，求解三角函数在给定区间上的最值时，应注意变量的取值范围在求三角函数的最值时，应通过三角恒等变换先化简再求值或者利用导数求最值sin cos0)1sinco1sxxxyxx若【变式练习】，求 的值域221sincossin cos21112(1)12sincos2sin()0)45)(1244421(12txxtxxtytttxxxxxty 令，则，所以 又，且，所以，所以，所以，【解析】与辅助角公式有关的三角函数问题 2sin(2)sin(2)2cos.661222f xxxxf xf xx已知函数求的【例最大值及最小正周期；求使成立的
3、】的取值范围 2maxsin(2)sin6(2)2cos6sin2 coscos2 sinsin2 cos666cos2 sincos2163sin2cos212sin(2)1622213.|21f xxxxxxxxxxxxf xT【因为 ，所以 】，析解 22sin(2)1261sin(2)625222()666()32|32f xxxkxkkkxkkf xxx kxkkZZZ因为，即，即，所以，所以所以使成立的 的取值范围是，求三角函数的最值之前往往要进行三角恒等变换，将三角函数式化简在三角恒等变换中，遇有正、余弦函数的平方，一般要先考虑降次公式，然后应用辅助角公式asinxbcosx22
4、sin()abx 等公式进行化简或计算【变式练习 2】已知向量 m(3sin2x2，cosx)，n(1,2cosx)，设函数 f(x)mn.求 f(x)的最小正周期与单调递减区间【解析】(1)m(3sin2x2，cosx)，n(1,2cosx)，所以 f(x)mn 3sin2x22cos2x 3sin2xcos2x32sin(2x6)3，所以 T22，令 2k22x62k32(kZ)所以 f(x)的单调递减区间为 k6xk23(kZ)三角函数的应用【例3】某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：小时)而周期性变化为了了解变化规律，该队观察
5、若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：y(米)1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0t(时)03691215182124(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内进行训练的具体时间段 sin()122.60,1.03,1.42 sin1(024)5126yAtbTTtyt 散点图如图由散点图可知，选择 函数模型较为合适由图可知，则 将点，代入，得函数的解析式为【解析】24sin1(024)565
6、1sin,62722()666112712()0,1,207111923324.1119tytttkkkktk kkttt ZZ由，即则，得 令，从而得或或所以，应在白天时时进行训练三角函数，特别是正弦函数和余弦函数，是现实世界中许多周期现象的数学模型注意在一个周期现象里有多个量(包括常量与变量)，它们共同描述同一个周期现象【变式练习3】如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60 s转动一圈途中OA与地面垂直以OA为始边，逆时针转动角到OB.设B点与地面距离为h.(1)求h与的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t的函数关系式
7、；(3)填写下列表格：0 30 60 90 120 150 180h(m)t(s)051015202530h(m)【解析】(1)作辅助线如图所示因为h0.8OABC0.84.8OBsin5.64.8sin(90)，所以h5.64.8cos(0)2,6030305.64.8co23s(0)30ttht t因为 又，所以，所以 表格填写完整如下：030 60 90 120 150 180h(m)0.81.443.25.689.7710.4t(s)051015202530h(m)0.81.443.25.689.7710.4 21.sin2cos 2xf xx函数的一个单调增区间是_322()44kk
8、kZ，2sin2cos 2sincos12sin()143(22)()44xf xxxxxkkkZ由于【解析，故易知它在，上】单调递增2.(tan3)cos(0)2yxx x函数，的最大值为_2maxtan cos3cossin3cos2sin()35023361sin()12.23yxxxxxxxxxy因为，所以，所以，所以【】解析 3.cos(3sincos)(02)3f xxxxf xx设函数其中若函数的图象的一条对称轴为直线，那么 _.2cos(3sincos)3sincoscos311sin2cos22221sin(2).6212.3f xxxxxxxxxxf xx若函数的图象的一条
9、对称轴为直线,则解可取【析】4.sin2cos(2)6()14202f xxg xxxt tf xg xMNtMNMNtR 已知函数，直线 与函数、的图象分别交于、两点当 时，求的值；求在，时的最大值|sin(2)cos(2)|44623|1cos|.32|sin2cos(2)|633|sin2cos2|3|sin(2)|.226502266623.1 MNMNtttttttMN因为，则，所以的最大解析值为【】5.sin()0.5312().kxf xkf xMmTkxf xMm设三角函数，写出的最大值，最小值 与最小正周期；试求最小的正整数，使得当自变量在任意两个整数间 包括整数本身 变化时，函数至少有一个值是与一个值是 sin()5301011.|1.1()10110|3212.kxf xkxMmTkxnnnxf xf xnnnkkkRZZ因为，且，所以，设，依题意，当自变量在任意两个整数间变化时，函数至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的最小正周期应不大于区间，的长度，即，解得，所以最小的正整数【解析】求三角函数的周期、值域、单调区间、对称轴、对称中心等一类与三角函数性质有关的问题时，需要我们运用“化一”的方法首先化简已知函数式，即一般可考虑将其化为yAsin(x)b的形式
