1、学业分层测评(六)(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1若空间任意两个非零向量a,b,则|a|b|,且ab是ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】ab|a|b|,且ab;所以,必要;当ba时,有|a|b|且ab,但ab,所以,不充分故选B.【答案】B2下列命题中正确的个数是()如果a,b是两个单位向量,则|a|b|;两个空间向量共线,则这两个向量方向相同;若a,b,c为非零向量,且ab,bc,则ac;空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内A1个B2个C3个D4个【解析】对于:由单位向量的定义即得|a|b|1,故正确;对于:共线不一定同向,故错
2、;对于:正确;对于:正确,在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内【答案】C3如图213所示,三棱锥ABCD中,AB面BCD,BDC90,则在所有的棱表示的向量中,夹角为90的共有()图213A3对B4对C5对D6对【解析】夹角为90的共有与,与,与,与,与.【答案】C4.在如图214所示的正三棱柱中,与,相等的是()图214A,B,C,D,【解析】,60,故选D.【答案】D5在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ACC1A1的法向量是()A.BC.D【解析】BDAC,BDAA1,B
3、D面ACC1A1,故为平面ACC1A1的法向量【答案】A二、填空题6正四面体SABC中,E,F分别为SB,AB中点,则,_.【解析】如图所示,E,F为中点,EFSA,而SAC为正三角形,SAC,.【答案】7下列命题正确的序号是_若ab,b,c,则a,c;若a,b是同一个平面的两个法向量,则ab;若空间向量a,b,c满足ab,bc,则ac;异面直线的方向向量不共线【导学号:32550022】【解析】a,c或,错;ab,错;当b0时,推不出ac,错;由于异面直线既不平行也不重合,所以它们的方向向量不共线,对【答案】图2158如图215,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1
4、,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于_【解析】要求异面直线EF与GH所成的角就是求,因为与同向共线,与同向共线,所以,在正方体中A1BC1为等边三角形,所以,60.【答案】60三、解答题9.如图216,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB3,AD2,AA11,在以长方体的顶点为起点和终点的向量中,图216(1)写出所有的单位向量;(2)写出与相等的所有向量;(3)写出与相反的所有向量;(4)写出模为的所有向量【解】在长方体ABCDA1B1C1D1中,因为长、宽、高分别为AB3,AD2,AA11,所以AD1.(1)单位向量有:,.(2)与相等的向量有:,.(3)与
5、相反的向量有:,.(4)模为的向量有:,.图21710如图217所示,已知正四面体ABCD.(1)过点A,作出方向向量为的空间直线;(2)过点A,作出平面BCD的一个法向量【解】如图所示,过点A作直线AEBC,由直线的方向向量的定义可知,直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线(2)如图所示,取平面BCD的中心O,由正四面体的性质可知,AO垂直于平面BCD,向量可作为平面BCD的一个法向量能力提升1(2016福州高二检测)空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|3,则下列结论正确的是()AabBab为实数0Ca与b方向相同D|a|3【解析】a,b互为相反向量,ab,又|b|3,|a|3.【
6、答案】D2(2016天津高二检测)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,下列四对向量:与;与;与;与.其中互为相反向量的有n对,则n()A1B2C3D4【解析】与,与平行且方向相反,互为相反向量【答案】B图2183如图218所示,四棱锥D1ABCD中,ADDD1CD,底面ABCD是正方形,DD1面ABCD,E是AD1的中点,求,【解】取CD1的中点F,连接EF,DF,则,由ADDD1CD,且D1DAD,D1DCD,DEDFEFDD1,EFD为正三角形,FED,.4如图219,四棱锥VABCD,底面ABCD为正方形,VA平面ABCD,以这五个顶点为起点和终点的向量中,求:【导学号:32550023】图219(1)直线AB的方向向量;(2)求证:BD平面VAC,并确定平面VAC的法向量【解】(1)由已知得,在以这五个顶点为起点和终点的向量中,直线AB的方向向量有,这4个(2)证明:四边形ABCD为正方形,ACBD.又VA平面ABCD,BD平面ABCD,BDVA.又ACVAA,BD平面VAC.平面VAC的法向量有,这2个