1、A 组 基础巩固1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列各式中运算的结果为AC1 的有()ABBCCC1；AA1 B1C1 D1C1；ABC1C B1C1；AA1 DC B1C1.A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：ABBCCC1 AC CC1 AC1；AA1 B1C1 D1C1 AD1 D1C1 AC1；ABC1C B1C1 AB1 B1C1 AC1；AA1 DC B1C1 AB1 B1C1 AC1.所以，所给四个式子的运算结果都是AC1.答案：D2如图，已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD.设 M，N 分别是 BC，C
2、D 的中点，则AB12(BD BC)()A.ANB.CNC.BCD.12BC解析：AB12(BD BC)ABBNAN.答案：A3设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足ABACACAD ABAD 0，则BCD为()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定解析：BD BAAD，BCBAAC，CD CAAD，cosBD，BCBAAD BAAC|BAAD|BAAC|BA2|BAAD|BAAC|0，BD，BC为锐角，同理 cosCB，CD 0，BCD 为锐角，cosDB，DC 0，BDC 为锐角，即BCD 为锐角三角形答案：B4已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是 A1C1
3、 的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且AF12EF，则AF()A.AA1 12AB12ADB.12AA1 12AB12ADC.12AA1 16AB16ADD.13AA1 16AB16AD解析：如图所示，AF13AE，AEAA1 A1E，A1E 12A1C1，A1C1 A1B1 A1D1，A1B1 AB，A1D1 AD，所以AF13AA1 12A1C113AA1 16AB16AD，故选 D.答案：D5.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量BD1 的是()(A1D1 A1A)AB；(BCBB1)D1C1；(AD AB)DD1；(B1D1 A1A)DD1.AB
4、CD解析：(A1D1 A1A)ABA1D1 AA1 BABD1；(BCBB1)D1C1 BCBB1 C1D1 BC1 C1D1 BD1；(AD AB)DD1 BD DD1 BD1 2DD1 BD1；(B1D1 A1A)DD1 B1D1 AA1 DD1 B1D1 BB1 DD1 BD1 DD1 BD1.答案：A6已知非零向量 a，b 不平行，且|a|b|，则 ab 与 ab 的位置关系是_解析：(ab)(ab)a2b20.(ab)(ab)答案：垂直7已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|b|4，那么 b(2ab)的值为_答案：08已知空间向量 a，b，|a|3 2，|b|5，mab，n
5、ab，a，b135，若 mn，则 的值为_解析：|a|3 2，|b|5，a，b135，ab|a|b|cosa，b3 25 22 15.mn，mn(ab)(ab)a2(1)abb21815(1)253100，310.答案：3109.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.解析：(1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以APAA1 A1D1 D1PaAD 12D1C1ac12ABa12bc.(2)因为 N 是 BC 的中点，所
6、以A1N A1A ABBNab12BCab12ADab12c.(3)因为 M 是 AA1 的中点，所以MP MA AP12A1A AP12aa12bc12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA1 12AD AA1 a12c，所以MP NC1 12a12bc a12c 32a12b32c.10.如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E 分别为棱 AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值解析：(1)证明：设CAa，CBb，CC c，根据题意得|a|b|c|，且 abbcca0，CEb12c，AD c12b12a，CEA
7、D 12c212b20，CEAD，即 CEAD.(2)AC ac，|AC|2|a|，|CE|52|a|，AC CE(ac)b12c12c212|a|2，cosAC，CE12|a|22 52|a|2 1010，即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 1010.B 组 能力提升1已知空间向量 a、b 满足条件 a3b 与 7a5b 垂直，a4b 与 7a2b 垂直，则a，b()A30B45C60D不确定解析：a3b 与 7a5b 垂直，(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20.a4b 与 7a2b 垂直，(a4b)(7a2b)7|a|230ab8|b|20.由得 ab12|b|2
8、，|a|b|.cosa，b ab|a|b|12|b|2|a|b|12，a，b60.答案：C2已知在正四面体 DABC 中，所有棱长都为 1，ABC 的重心为 G，则 DG 的长为()A.33B.23C.53D.63解析：如图，连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 DM，G 是ABC 的重心，AG23AM，AG 23AM，DG DA AG DA 23AM DA 23(DM DA)DA 2312DB DC DA 13(DA DB DC)，而(DA DB DC)2DA 2DB 22 DA DB DC2 2 DB DC 2 DC DA 1112(cos 60cos 60cos 60)6，|DG|
9、63.答案：D3如图，O 为ABC 所在平面外一点，M 为 BC 的中点，若AG AM 与OG 12OA 14OB14OC 同时成立，则实数 的值为_解析：OG OA AG OA AM OA 2(ABAC)OA 2(OB OA OC OA)(1)OA 2OB 2OC，所以 112，214，解得 12.答案：124设 a，b，c 满足 abc0，且 ab，|a|1，|b|2，则|c|_.解析：abc0，caB.|c|ab2 a22abb2 14 5.答案：55如图所示，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是边 AB，CD 的中点(1)求下列向量的数量积：ABAD
10、，MN AB，MN CD，MN AN；(2)求证：MN 为 AB 与 CD 的公垂线段解析：设ABp，ACq，AD r.由题意可知：|p|q|r|a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60.MN ANAM 12(ACAD)12AB12(qrp)，CD AD ACrq，AN12(ACAD)12(qr)(1)ABAD|AB|AD|cosAB，AD a2cos 6012a2.MN AB12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN CD 12(qrp)(rq)12(r2q2prpq)12(a2a2a2cos 60a2cos 60)0.MN AN12(qrp
11、)12(qr)14(qr)2pqpr14(q2r22qrpqpr)14(a2a22a2cos 60a2cos 60a2cos 60)12a2.(2)证明：由(1)知 MNCD，MNAB，MN 为 AB 与 CD 的公垂线段6如图，已知在平行六面体 ABCD-ABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求 AC的长；(2)求AC 与AC的夹角的余弦值解析：(1)AC ABAD AA，|AC|2(ABAD AA)2|AB|2|AD|2|AA|22(ABAD ABAA AD AA)4232522(010152)85.|AC|85.即 AC的长为 85.(2)设AC 与AC的夹角为，ABCD 是矩形，|AC|32425.由余弦定理可得cos|AC|2|AC|2|CC|22|AC|AC|8525252 855 8510.
