1、学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若空间任意两个非零向量a，b，则|a|b|，且ab是ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】ab|a|b|，且ab；所以，必要；当ba时，有|a|b|且ab，但ab，所以，不充分故选B.【答案】B2下列命题中正确的个数是()如果a，b是两个单位向量，则|a|b|；两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；若a，b，c为非零向量，且ab，bc，则ac；空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内A1个B2个C3个D4个【解析】对于：由单位向量的定义即得|a|b|1，故正确；对于：共线不一定同向，故错
2、；对于：正确；对于：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内【答案】C3如图213所示，三棱锥ABCD中，AB面BCD，BDC90，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90的共有()图213A3对B4对C5对D6对【解析】夹角为90的共有与，与，与，与，与.【答案】C4.在如图214所示的正三棱柱中，与，相等的是()图214A，B，C，D，【解析】，60，故选D.【答案】D5在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()A.BC.D【解析】BDAC，BDAA1，B
3、D面ACC1A1，故为平面ACC1A1的法向量【答案】A二、填空题6正四面体SABC中，E，F分别为SB，AB中点，则，_.【解析】如图所示，E，F为中点，EFSA，而SAC为正三角形，SAC，.【答案】7下列命题正确的序号是_若ab，b，c，则a，c；若a，b是同一个平面的两个法向量，则ab；若空间向量a，b，c满足ab，bc，则ac；异面直线的方向向量不共线【导学号：32550022】【解析】a，c或，错；ab，错；当b0时，推不出ac，错；由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，对【答案】图2158如图215，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1
4、，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_【解析】要求异面直线EF与GH所成的角就是求，因为与同向共线，与同向共线，所以，在正方体中A1BC1为等边三角形，所以，60.【答案】60三、解答题9.如图216，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，AA11，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图216(1)写出所有的单位向量；(2)写出与相等的所有向量；(3)写出与相反的所有向量；(4)写出模为的所有向量【解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为长、宽、高分别为AB3，AD2，AA11，所以AD1.(1)单位向量有：，.(2)与相等的向量有：，.(3)与
5、相反的向量有：，.(4)模为的向量有：，.图21710如图217所示，已知正四面体ABCD.(1)过点A，作出方向向量为的空间直线；(2)过点A，作出平面BCD的一个法向量【解】如图所示，过点A作直线AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线(2)如图所示，取平面BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，向量可作为平面BCD的一个法向量能力提升1(2016福州高二检测)空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|3，则下列结论正确的是()AabBab为实数0Ca与b方向相同D|a|3【解析】a，b互为相反向量，ab，又|b|3，|a|3.【
6、答案】D2(2016天津高二检测)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n()A1B2C3D4【解析】与，与平行且方向相反，互为相反向量【答案】B图2183如图218所示，四棱锥D1ABCD中，ADDD1CD，底面ABCD是正方形，DD1面ABCD，E是AD1的中点，求，【解】取CD1的中点F，连接EF，DF，则，由ADDD1CD，且D1DAD，D1DCD，DEDFEFDD1，EFD为正三角形，FED，.4如图219，四棱锥VABCD，底面ABCD为正方形，VA平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图219(1)直线AB的方向向量；(2)求证：BD平面VAC，并确定平面VAC的法向量【解】(1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有，这4个(2)证明：四边形ABCD为正方形，ACBD.又VA平面ABCD，BD平面ABCD，BDVA.又ACVAA，BD平面VAC.平面VAC的法向量有，这2个