1、第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知 识 梳 理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要
2、条件pq且q pp是q的必要不充分条件p q且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件p q且q p常用结论与微点提醒1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(AB且B A)，与A的充分不必要条件是B(BA且A B)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件綈B是綈A的充分不必要条件.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“x22x31是a的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若“ab1”，当a2，b1时，不能得到“a”，若“a”，例如
3、当a1，b1时，不能得到“ab1”，故“ab1”是“a”的既不充分也不必要条件.答案D3.(老教材选修21P2例1改编)下面有4个命题：集合N中最小的数是1；若a不属于N，则a属于N；若aN，bN，则ab的最小值为2；x212x的解可表示为1，1.其中真命题的个数为_.解析为假命题，集合N中最小的数是0；为假命题，如a不满足；为假命题，如a0，b1，ab1，比2小；为假命题，所给集合中的元素不满足互异性.答案04.(2017北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若abc，则abc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_.解析abc，取a2，b4，c5，则ab6a是q：2x3的必要不充分条
4、件，则实数a的取值范围是_.解析由已知，可得x|2xa，a2.答案(，26.(2020青岛二中检测)直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.解析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解得1k3.答案1k1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B.“若am2bm2，则a4x0成立D.“若sin ，则”是真命题(2)(2018北京卷)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0，2都成立，则f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_.解析(1)对于选项A，“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”，A错；对于B项，若“am2bm2，则ab”的逆
5、命题为“若ab，则am23x，C错；对于D项，原命题的逆否命题为“若，则sin ”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为0，2的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)minf(0).答案(1)D(2)f(x)sin x，x0，2(答案不唯一 ，再如f(x)规律方法1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这
6、一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【训练1】 (1)(2020石家庄模拟)下列说法中正确的是()A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)0B.若数列an为常数列，则an既是等差数列也是等比数列C.在ABC中，AB是sin Asin B的充要条件D.命题“若0，则xa；命题q：若ma2，则mBabsin Asin B.D错，若an递减，则an1ana，则x0，它是真命题时，a0.命题q的逆否命题是：若msin x，则ma2恒成立，它是真命题时a21，解得a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知条
7、件p：x1或xx2，则綈p是綈q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析(1)当a0，b0时，得4ab2，即ab4，充分性成立；当a4，b1时，满足ab4，但ab54，不满足ab4，必要性不成立，故“ab4”是“ab4”的充分不必要条件.(2)由5x6x2，得2x3，即q：2x3.所以qp，pq，所以綈p綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.答案(1)A(2)A规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否
8、命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1)(2019天津卷)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的_条件.解析(1)由“x25x0”可得“0x5”；由“|x1|1”可得“0x2”.由0x5/ 0x2；但0x20x5，所以“x25x0”是“|x1|1”的必要不充分条件.(2)显然a0时，f(x)sin x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(x)f(x)sin(x)asin xa0.因此2a
9、0，故a0.所以“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的充要条件.答案(1)B(2)充要考点三充分、必要条件的应用典例迁移【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围.解由x28x200，得2x10，Px|2x10.xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0.综上，m的取值范围是0，3.【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.解由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在.【迁移2】 设p：Px|x28x200，q：非
10、空集合Sx|1mx1m，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解由例题知Px|2x10.綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件.pq且q p，即PS.或m9，又因为S为非空集合，所以1m1m，解得m0，综上，实数m的取值范围是9，).规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的
11、现象.【训练3】 (2020湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.(，1)C.(3，) D.3，)解析|x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a成立的充分条件是0xb，a，b，cR，则下列命题为真命题的是()A.ac2bc2 B.1C.acbc D.a2b2解析对于选项A，ab，若c0，则ac2bc2，故A错；对于选项B，ab，若a0，b0，则b，则acbc，故C正确；对于选项D，ab，若a，b均小于0，则a2b，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个解析原
12、命题：若c0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，cR，若“ac2bc2，则ab”.由ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，真命题共有2个.答案C6.已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.1，) B.(，1C.1，) D.(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a1.答案A7.(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A
13、.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件.答案A8.下列结论错误的是()A.命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”B.“x4”是“x23x40”的充分条件C.命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”.若方程有实根，则14m0，即m，不能推出m0.所以不是真命
14、题.答案C二、填空题9.(2017北京卷改编)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的_条件.解析存在负数，使得mn，则mnnn|n|20；反之mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线.故“存在负数，使得mn”是“mnb，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是_.解析原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，错误；原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，正确；原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，正确.答案11.已知不等式|xm|1成立的充分不必要条
15、件是x，则m的取值范围是_.解析解不等式|xm|1，得m1x2S5d0，所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.答案C14.(2020合肥模拟)已知偶函数f(x)在0，)上单调递增，则对实数a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(|x|).又yf(x)在0，)上单调递增，若a|b|，则f(a)f(|b|)f(b)，即充分性成立；若f(a)f(b)，则等价为f(|a|)f(|b|)，即|a|b|，即a|b|或a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件.答案A15.已知p：实数m满足3am0)，q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_.解析由2mm10，得1m，即q：1mb，则b，则为真命题，则b，ba0.故当a0，bb，则0，b0)
