1、热点一圆锥曲线中的定点、定值问题热点二圆锥曲线中的最值、范围问题热点三圆锥曲线中的探索性问题结束放映返回目录第2页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题结束放映返回目录第3页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与
2、椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点a2，b1，(1)解 依题意得 eca 32，(2 分)过右焦点 F 与长轴垂直的直线 xc 与椭圆x2a2y2b21，联立解得弦长为2b2a 1，所以椭圆 C 的方程为x24 y21.(4 分)结束放映返回目录第4页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M
3、，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点即(4t29)x216t2x16t2360，(8分)(2)证明 设 P(1，t)，kPAt012t3，直线 lPA：yt3(x2)，(6 分)联立得yt3(x2)，x24 y21，可知2xM16t2364t29，所以 xM188t24t29，结束放映返回目录第5页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 P
4、A 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0)，则xM188t24t29，yM 12t4t29.同理得到xN8t224t21，yN4t4t21.(10 分)结束放映返回目录第6页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB
5、与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点又 kMQ12t4t29188t24t29 m，kNQ4t4t218t224t21m，令8m320，6m240，得 m4，kMQkNQ，所以化简得(8m32)t26m240，即直线MN经过定点(4，0)(13分)结束放映返回目录第7页 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤：热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题第一步第二步第三步研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值探究一般情况探究一般情形下的目标结论 下结论，综合上面两种情况定结论热点突破结束放映返回目录第8页 热点突破(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入
6、手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题结束放映返回目录第9页(1)解 设 F(c，0)，因为 b1，所以 c a21，热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题又直线 OA 的方程为 y1ax，热点突破直线 OB 的方程为 y1ax，直线 BF 的方程为 y1a(xc)，解得 Bc2，c2a.显示
7、/隐藏训练1则 Ac，ca，kABca c2acc23a.又因为 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，又直线 OA 的方程为 y1ax，故双曲线 C 的方程为x23 y21.【训练 1】(2014江西卷)如图，已知双曲线 C：x2a2y21(a0)的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；(2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2 y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定值，并求此定值结束放
8、映返回目录第10页(2)证明 由(1)知 a 3，热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题直线 l 与直线 x32的交点为 N32，32x033y0.热点突破则直线 l 的方程为x0 x3 y0y1(y00)，即 yx0 x33y0.因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点 M2，2x033y0；显示/隐藏训练1则|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y204 94（x02）2【训练 1】(2014江西卷)如图，已知双曲线 C：x2a2y21(a0)的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，
9、BFOA(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；(2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2 y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定值，并求此定值结束放映返回目录第11页 43（2x03）23y203（x02）2，热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题热点突破因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则x203 y201，|MF|2|NF|243（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所以所求定值为|MF|NF|232 33.显示/隐藏训练1代入上式
10、得【训练 1】(2014江西卷)如图，已知双曲线 C：x2a2y21(a0)的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；(2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2 y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定值，并求此定值结束放映返回目录第12页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及
11、这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题 热点突破结束放映返回目录第13页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题一审二审【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值由椭圆的离心率得出a，c的关系
12、.结合yx被椭圆c截得的线段长确定a，b的值第(1)题热点突破结束放映返回目录第14页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题一审二审【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值设出A，B，D三点
13、坐标，进而确定出直线BD，AM的斜率，代入表达式证明.先求含参数的OMN的面积的表达式，再应用基本不等式求最值.第(2)题热点突破结束放映返回目录第15页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆C 的方程；椭圆C的方程可简化为x24y2a2.(1)解 由题意知 a2b2a 32，可得 a24b2.因此b1.将 yx 代入可得 x 5a5，因此 22 5a54 105，可得 a2.所以椭圆 C 的方程为x24 y21.热点突破结束放映返回目录第
14、16页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题(2)证明 设A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)，因为直线 AB 的斜率 kABy1x1，设直线AD的方程为ykxm，由题意知k0，m0.又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 kx1y1.由ykxm，x24 y21，可得(14k2)x28mkx4m240.【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D在椭圆 C 上，且 ADAB，直线
15、BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N两点设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值热点突破结束放映返回目录第17页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题令y0，得x3x1，即M(3x1，0)所以 x1x2 8mk14k2，因此 y1y2k(x1x2)2m 2m14k2.由题意知 x1x2，所以 k1y1y2x1x2 14k y14x1.【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B
16、两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N两点设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值所以直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)可得 k2 y12x1.所以 k112k2，即 12.因此存在常数 12使得结论成立热点突破结束放映返回目录第18页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题由知M(3x1，0)，解 直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)，令 x0，得 y34y1，即 N0，34y1.可得OMN 的面积 S123|x1|
17、34|y1|98|x1|y1|.【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N两点设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值因为|x1|y1|x214 y211，当且仅当|x1|2|y1|22 时等号成立，此时 S 取得最大值98，所以OMN 面积的最大值为98.热点
18、突破结束放映返回目录第19页 热点突破圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题结束放映返回目录第20页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(
19、1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围显然直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为yk(x2)设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段EF的中点为G(x0，y0)，解(1)由题意得|x2|(x1)2y2 2，热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题整理得x22 y21，所以曲线 C 的方程为x22 y21.(2)有点 M 满足(2)220221，则点 M 在曲线 C 外热点突破结束放映返回目录第21页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲
20、线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围得(12k2)x28k2x8k220.由(8k2)24(12k2)(8k22)0，由yk(x2)，x22 y21消去 y，热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题解得 22 k 22.由根与系数的关系得 x1x2 8k212k2，于是x0 x1x22 4k212k2，y0k(x02)2k12k2，热点突破结束放映返回目录第22页【训练 2】设点 P(x，y)
21、到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围又直线C1B2和C1B1的方程分别为yx1，yx1，所以点G在正方形内(包括边界)的充要条件为 因为 x0 4k212k20，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题y0 x01，y0 x01，即2k12k2 4k212k21，
22、2k12k2 4k212k21，热点突破结束放映返回目录第23页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围亦即2k22k10，2k22k10.热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题由知，直线 l 斜率的取值范围是 312，312.解得 312k 312，热点突破结束放映返回
23、目录第24页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题 热点突破结束放映返回目录第25页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题解(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a2b2.【例 3】(12 分)(2014重庆卷)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆
24、，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由由|F1F2|DF1|2 2，得|DF1|F1F2|2 2 22 c.从而|DF1|22.(3 分)热点突破从而 SDF1F212|DF1|F1F2|22 c2 22，故 c1.结束放映返回目录第26页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题【例 3】(12 分)(2014重庆卷)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程；
25、(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由由 DF1F1F2，得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22.所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为x22 y21.(4 分)热点突破结束放映返回目录第27页(2)如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22 y21 相交，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由 F1P1F2P2，得(x11)2y210，由椭圆方程得，1x2
26、12(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或 x10.(8 分)显示/隐藏例3P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.(6分)由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在当 x143时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C热点三 圆锥曲线中的探索性问题热点突破结束放映返回目录第28页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题设 C(0，y0)，由 CP1F1P1，得y1y0 x1y1x111.而求得
27、y113，故 y053.(10 分)圆 C 的半径|CP1|432135324 23.x2y532329.(12 分)显示/隐藏例3综上，存在满足题设条件的圆，其方程为：热点突破结束放映返回目录第29页 热点突破第一步第二步第三步第四步求解圆锥曲线中的探索性问题的一般步骤 假设结论存在以存在为条件，进行推理求解明确规范表述结论若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设反思回顾查看关键点，易错点及解题规范热点三 圆锥曲线中的探索性问题结束放映返回目录第30页(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用
28、待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 热点突破热点三 圆锥曲线中的探索性问题结束放映返回目录第31页 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于中 解(1)由已知条件，直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k的直线 l 与椭圆x22 y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A
29、、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB 垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由整理得12k2 x22 2kx10.8k2412k2 4k220，解得 k 22 或 k 22.即 k 的取值范围为，2222，.热点突破热点三 圆锥曲线中的探索性问题结束放映返回目录第32页(2)不存在，理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，热点三 圆锥曲线中的探索性问题则OP OQ(x1x2，y1y2)由方程得，x1x2 4 2k12k2，【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k的直线 l 与椭圆x22 y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求
30、 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB 垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由y1y2k(x1x2)2 24 2k212k2 2 2.热点突破结束放映返回目录第33页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k的直线 l 与椭圆x22 y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB 垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由(OP OQ)AB，AB(2，1)，(x1x2)(2)y1y20，即：4 2k12k2(2)4 2k212k22 20.解得：k 24，由(1)知 k212，与此相矛盾，所以不存在常数 k 使OP OQ 与AB 垂直.热点突破结束放映返回目录第34页（见教辅）
