1、11导数11.1函数的平均变化率11.2瞬时速度与导数1理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率(重点)2理解瞬时变化率、导数的概念(难点、易混点)3会用导数的定义求函数的导数基础初探教材整理1函数的平均变化率阅读教材P3P4“例1”以上部分，完成下列问题函数的平均变化率的定义一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商_称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率【答案】判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x表示x2x1，是相对于x1的一个增量，x可以为零()(
2、2)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可负也可以为零()(3)表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率()【答案】(1)(2)(3)教材整理2瞬时速度与导数阅读教材P6P8，完成下列问题1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sf(t)，当_时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率_趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率_趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的
3、瞬时变化率记作：当x0时，l.还可以说：当x0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作 l.3函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在点x0的_，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作_，即f(x0)_.4函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x_的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个_于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为_【答案】1.t趋近于02.3瞬时变化率f(x0) 4都是可导确定的导数f(x)f(x)或y(或yx)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1
4、)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零()【解析】(1)由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关，故正确(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误(3)在导数的定义中，y可以为零，故错误【答案】(1)(2)(3)2函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率是_ 【导学号：05410000】【解析】f(x)x2，函数f(x)在x1处的瞬时变化率是 (2x)2.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑
5、：疑问3：解惑：小组合作型求函数的平均变化率(1)已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40B0.41C0.43D0.44(2)已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快【精彩点拨】(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得(2)【自主解答】(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.【答案】B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2
6、，则物体在t0时刻的瞬时速度为_(2)某物体的运动方程为s2t3，则物体在第t1时的瞬时速度是_. 【导学号：05410001】【精彩点拨】先求出，再求 .【自主解答】(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tgt2，v0gt0gt， v0gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0gt0.(2)当t1时，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6， 6，则物体在第t1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0gt0(2)61求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度
7、；(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可再练一题2一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度【解】(1)初速度v0 (3t)3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬 (t1)1，即物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反(3)1，即t0到t2时的平均速度为1 m/s.探究共研
8、型求函数在某点处的导数一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间探究1试求质点在1,1t这段时间内的平均速度【提示】63t.探究2当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当t趋近于0时，趋近于6.这时的平均速度即为t1时的瞬时速度(1)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y3x2在x1处的导数【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f(x0)【自主解答】(1)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)23x(x)2，3x，f(1) (3x)3.(2)yf(1x)f(1)3(1x)236
9、x3(x)2，63x，f(1) (63x)6.1通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于y与x的比值，感受和认识在x逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象2用定义求函数在xx0处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求极限，得导数为f(x0) .简记为：一差、二比、三趋近再练一题3求函数f(x)x在x1处的导数【解】y(1x)x1x，1，f(1) 2.构建体系1已知函数yf(x)2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1x,2y)，则的值为()A4B4xC42x2D42x【解析】42x.【答案】D2一个物体的运动方程为s1t
10、t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A7 m/sB6 m/sC5 m/sD8 m/s【解析】5t， (5t)5(m/s)【答案】C3质点运动规律sgt2，则在时间区间(3,3t)内的平均速度等于_(g10 m/s2)【解析】sg(3t)2g32106t(t)230t5(t)2，305t.【答案】305t4一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a_. 【导学号：05410002】【解析】因为ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat，故当t2
11、时，瞬时速度为 4a，所以4a8，所以a2.【答案】25在曲线yf(x)x23上取一点P(1,4)及附近一点(1x,4y)，求：(1)；(2)f(1)【解】(1)2x.(2)f(1) (2x)2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1函数f(x)x21在区间1，m上的平均变化率为3，则实数m的值为()A3B2C1D4【解析】由已知得：3，m13，m2.【答案】B2一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3B3C6D6【解析】由平均速度和瞬时速度的关
12、系可知，vs(1) (3t6)6.【答案】D3已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及附近一点(1x，2y)，则()A4B4xC42xD42(x)2【解析】因为yf(1x)f(1)2(1x)24(2124)4x2(x)2，所以42x.【答案】C4设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b【解析】f(x0) (abx)a，f(x0)a.【答案】C5设函数yf(x)在xx0处可导，且 1，则f(x0)等于()A1B1C D.【解析】 (3)3f(x0)1，f(x0).【答案】C二、填
13、空题6若f(x0)1，则 _. 【导学号：05410003】【解析】 f(x0).【答案】7汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图111所示在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是_图111【解析】1kMA，2kAB，3kBC，由图象可知：kMAkAB21.【答案】3218一物体位移s和时间t的关系是s2t3t2，则物体的初速度是_【解析】物体的速度为vs(t)，s(t) 26t.即v26t，所以物体的初速度是v02602.【答案】2三、解答题9已知某物体按照s(t)3t2t4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s
14、附近的平均速度【解】(253t)m/s，即该物体在4 s附近的平均速度为(253t)m/s.10(2016聊城高二检测)求函数yx2axb(a，b为常数)的导数【解】因为y(xx)2a(xx)b(x2axb)2xx(x)2ax(2xa)x(x)2，故(2xa)x， (2xax)2xa，所以y2xa.能力提升1若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值是()A1B1C1D3【解析】yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，3x3x0x(x)2，f(x0)3x3x0x(x)23x，由f(x0)3，得3x3，x01.【答案】C2如果函数yf(x)在x1处的导数为1，那么 ()
15、A.B1C2 D.【解析】因为f(1)1，所以 1，所以 .【答案】A3已知f(x0)0，若a ，b ，c ，d ，e ，则a，b，c，d，e的大小关系为_【解析】a f(x0)，b f(x0)，c 2 2f(x0)，d f(x0)，e f(x0)即cadeb.【答案】cadeb4(2016南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)x3x22x.(1)求在第1 s内的平均速度；(2)求在1 s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?【解】(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为 m/s.(2)63x(x)2.当x0时，6，所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.(3)2x22x2(x)22xxx.当x0时，2x22x2，令2x22x214，解得x2，即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.
