1、1.函数与方程（1）【知识归纳】一、二次函数的图象和性质1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，（2）a0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根， 情况类型0=00图象ax2+bx+c=0的解即函数零点x=x1或x=x
2、2(x10解xx2xx1 Rax2+bx+c0解x1x0恒成立问题含参不等式axbxc0的解集是R；其解答分a0(验证bxc0是否恒成立)、a0（a0且0）两种情况三、实系数一元二次方程 的实根符号与系数的关系：韦达定理：方程（）的二实根为、，则且两个正根，则需满足，两个负根，则需满足，一正根和一负根，则需满足 四、一元二次方程根的分布条件根的分布x1x2kkx1x2x1kx2x1,x2(k1,k2)x1、x2有且仅有一个在(k1,k2)内图象充要条件说明：已知零点范围确定相关字母的范围：控制二次函数图象的四个手段：a 的正负；对称轴范围；判别式大于小于等于0；某些函数值（乘积）正负。【典型例
3、题】一、 关于二次函数问题 例1（1） 已知，（a、b、cR），则有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：法一：依题设有 a5bc0是实系数一元二次方程的一个实根；0 故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：10ac25ac20ac 故选(B)点评：解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。（2）已知函数若则与的大小关系为 提示：其图象是开口向上的抛物线，对称轴为， ，与的中点在(1，)之间， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离，答案为A例2已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在
4、0x1时有最大值2，求a的值。分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0x1),对称轴x=a10 a1时，综上所述：a= - 1或a=2例3已知二次函数为常数，且 满足条件：，且方程有等根 （1）求的解析式；（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为m，n和4m，4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由 解方程有等根，得b=2 由知此函数图象的对称轴方程为，得，故 （2），4n1，即而抛物线的对称轴为 时，在m，n上为增函数 若满足题设条件的m，n存在，则，又， ，这时定义域为2，0，值域为8，0 由以上知满足条件的m、n存在
5、， 二、关于根的分布问题例4已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴与区间相对位置。解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图 （2） 例5若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围解：设，则原方程可变为原方程有实根，即方程有正根令(1)方程有两个正实根，则解得； （2）方程有一个正实根和一个负实根，则，解得：（3）得，符合题意综上： （选讲）设f(x)=ax2+bx+c(ab
6、c),f(1)=0,g(x)=ax+b （1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；证明（1）：f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 f(1)=a+b+c=0又abc3aa+b+c3c a0,c0由 =(ba)24a(cb)(b+a)24ac0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=,x1x2=,由题意，A1B1=x1x2=abc,a+b+c=0a(a+c)c 2A1B1的取值范围是（，2）【补充作业】1已知关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围.解：设，原方程化为：，即 原问题等价于方程有两个不同的正根，解得：.2方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。解法一：方程有两解时，方程只有一解时。综合可得：解法二：变量分离法：因为，可得二次函数的值域为3已知，t，8，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求的取值范围解：t，8， ，3， ，3 原题转化为：0恒成立，当时，不等式不成立，令，m，3，则：，解得：的取值范围为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
