1、第三章导数及其应用第二节导数的应用第3课时利用导数证明不等式1已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex，易知f(2)0.当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的极小值点也是最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因
2、此，当a时，f(x)ln x10.2已知函数f(x)ln x，求证：f(x).证明：f(x)ln x.令g(x)f(x)ln x(x0)，则g(x).当x1时，g(x)0；当0x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x1时，g(x)取得极大值即最大值，故g(x)g(1)0，即f(x).3(2019届四省八校双教研联考)已知函数f(x)axax ln x1(aR，a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1时，求证：1.解：(1)f(x)aa(ln x1)aln x，若a0，则当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)，f(x)0，所以f(x)在(
3、0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；若a0，则当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明：要证1，即证ex，令t，t(0，1)，原不等式转化为et，两边同取以e为底的对数得，ln(1t)t，即证tln(1t)0，令g(t)tln(1t)，则g(t)10，故g(t)在(0，1)上单调递减，g(t)0)的图象在x1处的切线方程是(e1)xeye10.(1)求a，b的值；(2)若m0，证明：f(x)mx2x.解：(1)由(e1)xeye10得该切线的斜率为且f(1)0，所以f(1)(1b)a0，解得a或b1，又f(
4、x)(xb1)exa，所以f(1)a，若a，则b2e0矛盾，若b1，则a1.故a1，b1.(2)证明：证法一：由(1)可知，f(x)(x1)(ex1)，由m0，可得xmx2x，令g(x)(x1)(ex1)x，则g(x)(x2)ex2，当x2时，g(x)(x2)ex222时，设h(x)g(x)(x2)ex2，则h(x)(x3)ex0，故函数g(x)在(2，)上单调递增，又g(0)0，所以当x(，0)时，g(x)0，函数g(x)在区间(0，)上单调递增，所以g(x)ming(0)0.所以g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x，故f(x)mx2x.证法二：由(1)可知f(x)(x1)(ex1)，由m0，可得xmx2x，令g(x)(x1)(ex1)x，则g(x)(x2)ex2，令t(x)g(x)，则t(x)(x3)ex，当x3时，t(x)0，g(x)单调递减，且g(x)3时，t(x)0，g(x)单调递增，又g(0)0，所以当x(3，0)时，g(x)0，所以g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，且g(x)ming(0)0，所以g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x，故f(x)mx2x.
