1、函数单调性的判断与证明 10af xxax讨论函数 的单【例】调性 12212121122112121221121221(0)(0)00()0(0)11xxxf xf xaaxxxxx xaxxx xxxax xaf xf xf xaaxxx xaf xf xf xa函数的定义域为，当时，设，则 于是【方法：定义法：当时，则所以在，上是单调解析】减函数；当时，则所以在，上是单调增函数 1221212112211212122112122100.()00)(0)2(0(,)xxxf xf xaaxxxxx xaxxx xaxxx xaf xf xf xaxxax xaf xf xf xaf xaa
2、aa当时，设则 于是当时，则所以在，上是单调减函数；当时，则所以在 ，上是单调增函数综上，函数在，上是单调减函数，在 ，上是单(0)x 调增函数由于函数是奇函数，其实只需讨论的情况即可 2201.0.)(0(0)0)(0(,)2axfxxfxaxxaf xaf xaaaf xaaaa当时，令，得，则于是在，上是单调增函数；同理可得在，上是单调减函数在 ，上是单调增函数，在，上是单调减函数综上，函数在，上方法：导数是单调减函数，在 ，上是单法：调增函数研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(f(x2)f(x1)，运算的结果可以判断正、负本题判断正、负
3、的依据是代数式“x1x2a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2a”的符号，“”000 xaxa转为断号过数单调区间点导数导数数图点线变当点导数为 时为，导数为数单调区间点导数运难点导数数单调运 于是化判的符，自然渡到是函的分界第二种方法是法是研究函象上某的切斜率的化大小的，某的，斜率所以是函的分界，用法可以克服推理算中的掌握法在函性研究中的用，能收到事半功倍的效果【变式练习1】求证：函数f(x)x3x在R上是增函数 121233121122332212121212122212122221212212123()()(1)13()(
4、)124130()10,240 xxxxf xf xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxf xf xf xf xf xxxR任取实数，且，则 因为，所以，即，所以函数 在 上是【证明】增函数求函数的单调区间 212log(432)f xxx【例求函数 的单】调区间 2221243014.32543()24log.3(1234)2xxxu xxxxyuxu xxu x由 ，得令 ，则原函数化为 易知，当，时，是单调增函数；当，时，是单调【解析】减函数 12121212121221231203420.log(43)3(1234)2xxu xu xu xyyxxu xu xu xyyf
5、 xxx故当时，因为是单调增函数，所以，所以；当时，因为是单调减函数，所以，所以故函数 在 ，上是单调减函数，在，上是单调增函数 212143log 2334)(122log(0)u xxxyuu xyu 复合函数的单调区间的求解可分为四步：求函数的定义域；把复合函数分解成两个常见函数本题中，是二次函数，是对数函数；分别求各函数的单调区间本题中，的单调减区间为，单调增区间为 ，是，上的单调减函数；根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间【变式练习2】求函数f(x)loga(32xx2)(0a0，则x(3,1)由于函数u的图象的对称轴为直线x1，所以函数u在1,1)上是单调减函数，在(3，1上是
6、单调增函数又因为函数ylogau(0a1)是单调减函数，所以函数f(x)loga(32xx2)(0a0(2)保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性本题中，a/2，)是单调增区间，与2，)一致；(3)注意防止扩大参数的取值范围，本题中，u(2)0.【变式练习3】是否存在实数a，使函数f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是单调增函数？证明你的结论220.12,41222420112uaxxaauaxxxaauaaa 设 假设符合条件的 存在当时，由复合函数的单调性，知只需 在上是单调增函数，所以 满足，解得，【于是解析】；22012,414.241640(1)log()2,4aa
7、uaxxxaaauaaf xaxx 当时，由复合函数的单调性，只需 在上是单调减函数，所以 满足，得综上，当，时，函数在区间上是单调增函数抽象函数的单调性 (0)101112()1()2243f xxf xxyf xyf xfyf xff xf xx已知函数的定义域为，当时，且对于任意的正数，都有证明：函数在定义域上是单调增函数；如果 且，求 的【例】取值范围 122211112211112211210.(?)()()1(1)00.xxxf xf xfxf xxxxff xf xfxxxxfxxf xf xf x证明：设则【解析因为，所以，所以故在定义域上是单】调增函数 221110.111(
8、)()1()131.31()(2)(2)222339290110.202110)xyfyxff xfff xxxfff xff xf xf xxxfffxxxxxxx 当 时，令 ，得，所以故由，得于是，而，所以 满足，解得故实数 的取值范围是，抽象函数单调性问题的特点是：(1)给出定义域；(2)给出满足函数意义的表达式(本题是f(xy)f(x)f(y)；(3)讨论函数的单调性和不等式求解等问题处理方法：(1)在定义域内任意取值，找出某些具体的函数值，如f(1)等；(2)抓住关系式，如f(xy)f(x)f(y)，进行适当的赋值和配凑，如本题中找出f(x)f(1/x)；(3)从函数值的大小关系中
9、，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解不等式(组)来完成【变式练习4】定义在R上的函数yf(x)，f(0)0.当x0时，f(x)1，且对任意的x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)证明：对任意的xR，f(x)0；(2)证明：f(x)是R上的单调增函数；(3)若f(x)f(x2x)1，求x的取值范围 000001.1()1.001()10.1xyffffyxf x fxf xfxxxfxf xfx 证明：令 ，得，所以令 ，得 ，所以设，则，所以由，得【解析】(2)证明：设x10，所以f(x2x1)1，且f(x1)0，所以f(x
10、2)f(x1)0，故函数f(x)在R上是单调增函数(3)由f(x)f(x2x)f(x22x)1f(0)，得x22x0，解得2x0，解得x3；再利用复合函数的单调性判断法则可知二次函数ux22x3要递增，两者结合，所求函数的单调递减区间是(3，)4.已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且在区间(1,1)上是单调减函数若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围 22222(1)(1)0(1)(1)(1)(1)(1,1)1111101101.,11fafafafaf xfaf af xaaaaaa 因为 ，所以因为是奇函数，所以 因为在 上是单调减函数，所以解这个不等式组得 所以实数 的取
11、值【范围是解析】5.0 xaf xabf xxbf x设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性 121212121212121212121212121212.000.0(xxxaxaf xf xxbxbxaxbxbxabaxxxbxbxbxbabbaxxxxbbxxf xxxbbxxf xf xf x 在定义域内任取所以因为，所以，所以只有当 或时，函数才单调而当 或时，所【以析】在解)()bb，和 ，上都是单调减函数 121221211221212121 1()()0()10)Df xxxDxxf xf xf xf xf xDxxDf xf xf xf xxxxxf xD 判断函数
12、的单调性 给定区间 上的函数，若对，且，都有或，则函数在 上是单调增函数 或单调减函数 与定义等价的判断，如对，定义，若或，则函数在 上是单调法：增函数；(2)导数法：设f(x)定义在区间D上，求 f(x)，对 xD，若 f(x)0(0)，则函数f(x)在D上是单调增函数(单调减函数)2求函数的单调区间的方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法；步骤：先求定义域，再选择合适的方法求单调区间；注意点：结论只能写成区间的形式；多个单调区间中间用“，”隔开，不能“并”；3复合函数的单调性函数yfu(x)称为复合函数，其中u(x)称为“内层函数”，yf(u)称为“外层函数”“内、外层函数”的单调
13、性相同时，函数yfu(x)是单调增函数，相 反 时，函 数 y fu(x)是 单 调 减 函数简称为“同增异减”在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值域是外层函数的定义域在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有直接关系，因此要注意两点：一是确保单调区间上函数有意义；二是根据单调性，转化为不等式(组)问题求解4已知函数在某个区间上的单调性，求字母的取值，可以利用定义法、图象法或导数法，要注意端点处能否取得5单调性的常用结论：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性 40311_yf xxf xxxxnf
14、xmmn学已知 是偶函数，当时，且当，时，恒成立，则 的最小值是联(2011泰州市上期期末考)minmaxmaxminmaxmin311,3401,22,31312541.nf xmnf xmf xmnf xf xyxxxf xxxfff xf xff因为恒成立，所以且，所以 的最小值是，又由偶函数图象关于 轴对称知当，时，函数的最值与当时的最值相同，又当时，在上递减，上递增，且，【所以】解析答案：1选题感悟：本题实质是函数性质的综合应用，利用偶函数图象的对称性可以避免求x0时的解析式，利用函数的单调性求最值 3222log(1)(2)0()_2_()f xxxxf mf mmmR设，则不等式
15、成立的充要条件是注：填写 的取值范围区联(2011南通通州考卷)222(2)0(2)()212.f mf mf mf mfmmmmmR判断函数是奇函数，且在 上是递增函数，所以，即为，所以，解得或【】解析答案：m1或m2选题感悟：本题虽然提供了函数解析式，但不是直接解不等式，而是利用函数解析式得出其奇偶性、单调性等重要性质，再利用这些性质解不等式3(2010宿迁一模卷)若函数f(x)log(a23)(ax4)在1,1上是单调增函 数，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_ 223033.4.3 1,1312.1,10(1)0424.104.aaau xaxau xaau xuaaa因为，所以或令当时，在 上单调递增，所以，所以又在 上恒大于，即，所以，所以故【解析】23 1,103123.1,1010404.23.(223)2,4au xaau xuaaaa当时，在 上单调递减，所以，所以又在 上恒大于，即，所以，所以故综上，得，(23)2,4，答案：选题感悟：本题主要考查复合函数的单调性，是一道易错题，不少同学易忽视“真数ax4在1,1上必须大于0”这一隐含条件而致错
