1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值必备知识自主学习1.极小值点与极小值(1)函数特征:函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的 函数值_,且f(a)0.(2)导数符号:在点xa附近的左侧f(x)0.(3)结论:_叫做函数yf(x)的极小值点,_叫做函数yf(x)的极小值 导思1.什么是函数的极小(大)值点?2什么是函数的极小(大)值?如何求函数的极值?都小 点af(a)2极大值点与极大值(1)函数特征:函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的 函数值都大,且f(b)0.(2)导数符号:在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x
2、)0,右侧 f(x)0,则 f(x)在 xx0 处取得极大值;若在 x0 的左侧 f(x)0,则 f(x)在 xx0 处取得极小值,设 yf(x)图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1,x2,x3,x4,则 f(x)在 xx1,xx3 处取得极大值,在 xx2,xx4 处取得极小值3函数 f(x)x2cos x 在0,2上的极大值点为()A.0 B6 C3 D2【解析】选 B.f(x)12sin x令 f(x)0,因为 x0,2,所以 x6,当 x6,2时 f(x)0,当 x0,6时,f(x)0.所以 x6 是 f(x)在0,2上的极大值点关键能力合作学习类型一 求函数的极值(点)(数
3、学抽象、数学运算)1函数 y2x2x3 的极值情况是()A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选 D.y2x3x2,令 y0,得 x123,x20.当 x23 时,y0;当23 x0;当 x0 时,y0,当 x(1,2)时,f(x)0.满足函数 f(x)在 x2 处取得极小值故 a1.(2)由 f(x)13 x312(a2)x22ax13,得 f(x)x2(a2)x2a.令 f(x)0,得 x2 或 xa.当 a2 时,f(x)0,f(x)在(,)上单调递增;当 a0,解得 x2,由 f(x)0,解得 ax2 时,由 f(x)0
4、,解得 xa,由 f(x)0,解得 2xa,所以函数 f(x)在(,2),(a,)上单调递增,在(2,a)上单调递减综上:当 a2 时,函数 f(x)在(,)上单调递增;当 a2 时,函数 f(x)在(,2),(a,)上单调递增,在(2,a)上单调递减类型三 函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度 1 已知极值点求参数值【典例】若函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处取得极值 10,则 a_,b_【思路导引】先由 x1 处取得极值 10,即 f(1)0 且 f(1)10,进而即可求出 a,b的值【解析】f(x)3x22axb,依题意得f(1)10,f(1)0,即a2ab9,2ab
5、3,解得a4,b11或a3,b3.但由于当 a3,b3 时,f(x)3x26x33(x1)20,故 f(x)在 R 上单调递增,不可能在 x1 处取得极值,所以a3,b3不符合题意,应舍去而当a4,b11时,经检验知符合题意,故 a,b 的值分别为 4,11.答案:4 11 本例条件不变,试求 f(x)的极大值【解析】由典例可知 f(x)x34x211x16,f(x)3x28x11,显然,当 x,113时,f(x)0,当 x113,1时,f(x)0,f(1)1(m3)m60,m321,解得 m3.故实数 m 的取值范围是(3,).课堂检测素养达标1函数 f(x)x44 x33 的极值点为()A
6、0 B1 C0 或 1 D1【解析】选 D.因为 f(x)x3x2x2(x1),由 f(x)0 得 x0 或 x1.又当 x1 时 f(x)0,0 x1 时 f(x)0,所以 1 是 f(x)的极小值点又 x0 时 f(x)0,故 x0 不是函数的极值点2(教材练习改编)如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象,则下列说法正确的是()Axa 是函数 yf(x)的极小值点B当 xa 或 xb 时,函数 f(x)的值为 0C函数 yf(x)关于点(0,c)对称D函数 yf(x)在(b,)上单调递增【解析】选 D.结合导数与函数单调性的关系可知,A 中,在 xa 附近,f(x)0,故xa 不
7、是极小值点;B 中,导数为 0 时,函数值不一定为 0;C 中,导函数的对称性与原函数的对称性没有关系;D 中,当 xb 时,f(x)0,函数 f(x)单调递增3设函数 f(x)xex,则()Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点【解析】选 D.令 yexxex(1x)ex0,得 x1.当 x1 时,y0;当 x1 时,y0.故当 x1 时,y 取得极小值4已知函数 f(x)(x2mxm)ex2m(mR,e 是自然对数的底数)在 x0 处取得极小值,则 m_,这时 f(x)的极大值是_【解析】由题意知 f(x)x2(2m)x2mex.由 f(0)2m0,解得 m0.则 f(x)x2ex,f(x)(x22x)ex,令 f(x)0,解得 x0 或 x2,故函数 f(x)的单调递增区间是(,2),(0,),单调递减区间是(2,0),所以函数 f(x)在 x2 处取得极大值,且有 f(2)4e2.答案:0 4e25求函数 f(x)ln xx2的极大值【解析】函数定义域为(0,),f(x)(ln x)x2ln x(x2)x4x2x ln xx412ln xx3,令 f(x)0,得 x e,当 0 x0,当 x e 时,f(x)0,所以 f(x)在 x e 处取得极大值 f(e)12e.